【精品解析】2.5 一元二次方程的根与 系数的关系-北师大版数学九年级上册

2.5 一元二次方程的根与 系数的关系-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2025九上·丰南月考）若，是方程的两个根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案. 2．（2025九上·游仙期中）已知x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根，则x1+x2+x1 x2的值为（　　） A．-5 B．-9 C．5 D．9 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：∵ x1，x2是一元一次方程x2-7x-2=0的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 【分析】若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，然后求和． 3．（2025九上·江油月考）若关于x的一元二次方程x2+（k-2）x-1=0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质；根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解：由韦达定理可知 ∵两根互为相反数 ∴ ∴ ∴k=2 故答案为：B . 【分析】利用韦达定理得到两根之间的关系，结合两根互为相反数建立关于k的等式，求解即可。 4．（2025九上·长沙开学考） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由题意知， a+b=-n，ab=-1， ∴ =-n2-2. 故答案：D. 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为用两根之和与两根之积表示的形式，最后代入计算得出结果. 5．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可. 6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　). A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2知， 解得m>-1且m≠0. ∵， ∴ ∴m=2或-1， ∵m>-1， ∴m=2. 故答案为：A. 【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得m的值. 7．关于x的一元二次方程. 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； .其中正确结论的个数是(　　). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有， x1·x2=2n>0，y1y2=2m>0，y1+y2=-2n<0，x1+x2=-2m<0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b2-4ac=4m2-8n≥0，Δ=b2-4ac=4n2-8m≥0， ∵4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+2≥2， (m-1)2+(n-1)2≥2，②正确； ③由根与系数关系可得 2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1、y2均为负整数， 故(y1+1)·(y2+1)≥0，故2m-2n≥-1， 同理可得： 2n-2m=x1x2=x1+x2-(x1+1)(x2+1) ... ...