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课件网) 2.2.2.1 有理数的除法 有理数的除法是有理数运算体系中的重要组成部分，它与有理数乘法紧密相关，是乘法的逆运算。理解并掌握有理数除法的规则和方法，对于解决各类数学问题，尤其是涉及数量分配、比例关系等实际问题，具有关键作用。接下来，我们将深入探究有理数除法的核心内容。 有理数除法的定义 已知两个有理数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做有理数除法。设\(a\)、\(b\)是两个有理数，且\(b 0\)，若存在有理数\(x\)，使得\(x ·b = a\)，那么\(x\)就叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，记作\(a ·b\)。这里，\(a\)称为被除数，\(b\)称为除数。例如，已知\(3 (-2)= -6\)，那么\(-6 ·3 = -2\)，其中\(-6\)是被除数，\(3\)是除数，\(-2\)是商。从这个例子可以直观地看出，除法运算就是根据已知的积和一个因数，去寻找另一个因数的过程。 特别要注意的是，在有理数除法中，除数\(b\)不能为\(0\)。因为假设\(a ·0 = x\)，根据除法的定义，\(x ·0 = a\)，但任何数乘以\(0\)都等于\(0\)，不可能等于非零的\(a\)，所以除数为\(0\)时，除法运算没有意义。这就如同把\(5\)个苹果平均分给\(0\)个人，这种情况在现实中无法实现，在数学运算里也是不被允许的。 有理数除法法则 法则一：除以一个不为\(0\)的数，等于乘这个数的倒数 符号表示：对于任意有理数\(a\)和不为\(0\)的有理数\(b\)，\(a ·b = a \frac{1}{b}\)。这里\(\frac{1}{b}\)就是\(b\)的倒数，即\(b\)与\(\frac{1}{b}\)的乘积为\(1\)。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)的倒数是\(-\frac{4}{3}\)。 应用场景：当遇到不能整除的情况，特别是除数是分数时，运用这个法则能将除法转化为乘法，从而简化计算。比如计算\(4 ·\frac{2}{3}\)，根据法则一，可转化为\(4 \frac{3}{2}\)，然后按照乘法运算规则，\(4 \frac{3}{2}=\frac{4 3}{2}=6\)。再如计算\((-5) ·(-\frac{5}{6})\)，转化为\((-5) (-\frac{6}{5})\)，两个负数相乘得正，\(5 \frac{6}{5}=6\)。 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数，都得\(0\) 符号表示：设\(a\)、\(b\)为有理数且\(b 0\)，若\(a\)、\(b\)同号（即\(a>0,b>0\)或\(a<0,b<0\)），则\(a ·b=\frac{|a|}{|b|}\)（结果为正）；若\(a\)、\(b\)异号（即\(a>0,b<0\)或\(a<0,b>0\)），则\(a ·b =-\frac{|a|}{|b|}\)（结果为负）；\(0 ·b = 0\)（\(b 0\)）。 应用场景：在能整除的情况下，使用这个法则更为简便。它分为商的符号法则和商的绝对值法则两部分。例如计算\((-42) ·(-6)\)，因为被除数\(-42\)和除数\(-6\)同号，根据法则，先确定商的符号为正，再把绝对值相除，\(| - 42| ·| - 6| = 42 ·6 = 7\)，所以\((-42) ·(-6)=7\)。又如计算\(36 ·(-9)\)，被除数\(36\)是正数，除数\(-9\)是负数，异号得负，\(|36| ·| - 9| = 36 ·9 = 4\)，则\(36 ·(-9)= - 4\)。而\(0 ·(-3.72)\)，根据\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数都得\(0\)，结果就是\(0\)。 分数的符号法则与有理数除法的关联 分数的符号法则：分数的分子、分母与分数线前面的符号，改变其中任意两个的符号，分数的值不变。用公式表示为\(\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{-a}{b}=-\frac{a}{-b}\)。例如\(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=-\frac{-2}{3}=-\frac{2}{-3}\)。 利用分数的符号法则化简分数规律：在分子、分母及分数线前的符号中，如果 “\(-\)” 号的个数是奇数，则分数的值为负，如果 “\(-\)” 号的个数是偶数，分数的值为正。比如\(\frac{-3}{-5}\)，“\(-\)” 号个数为\(2\)（偶数），所以\(\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\ ... ...
