4.1.2多项式和整式 课件（共27张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 4.1.2 多项式和整式 在代数式的学习中，多项式是由单项式进一步组合而成的重要形式，而整式则是单项式和多项式的统称。理解多项式的定义、项、次数等概念，以及整式与单项式、多项式的关系，是掌握整式运算的基础，也为后续学习分式、方程等知识提供了必要的准备。 一、多项式的定义 核心概念： 几个单项式的和叫做多项式。 例如：\(2x + 3\)（单项式\(2x\)与\(3\)的和）、\(a^2 - 2ab + b^2\)（单项式\(a^2\)、\(-2ab\)、\(b^2\)的和）、\(x^3 - 5\)（单项式\(x^3\)与\(-5\)的和）都是多项式；而\(3x\)（单个单项式）、\(\frac{x}{y}\)（分式）不是多项式。 关键词解析： 几个单项式的和：多项式是由多个单项式通过加法运算连接而成的，这里的 “和” 包含了减法运算（因为减法可以转化为加上相反数）。例如：\(3x - 2y\)可以看作是\(3x + (-2y)\)，即单项式\(3x\)与\(-2y\)的和，因此是多项式。 单项式的组合：多项式中的每个单项式都是多项式的组成部分，它们之间仅通过加法（或减法）连接，不含除法运算（除数为字母）。例如：\(x + \frac{1}{x}\)不是多项式，因为\(\frac{1}{x}\)是分式，不是单项式。 多项式与单项式的关系： 多项式是单项式的和，单项式是多项式的特殊形式（当多项式中只有一个单项式时，它就是单项式）。因此，所有的单项式都是多项式吗？不，多项式必须是 “几个” 单项式的和，单个单项式不属于多项式，二者是并列关系，共同构成整式。 二、多项式的项和常数项 多项式的项： 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 例如：多项式\(3x^2 - 2x + 5\)中的项分别是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)；多项式\(a^3b + ab - 1\)中的项分别是\(a^3b\)、\(ab\)、\(-1\)。 项的符号： 多项式的项包括它前面的符号，正数项的 “\(+\)” 号可以省略，负数项的 “\(-\)” 号不能省略。例如：多项式\(x^2 - 3x + 2\)的项是\(x^2\)、\(-3x\)、\(2\)，而不是\(x^2\)、\(3x\)、\(2\)。 常数项： 多项式中不含字母的项叫做常数项。 例如：多项式\(2x + 7\)的常数项是\(7\)；多项式\(a^2b - 5ab + 3\)的常数项是\(3\)；多项式\(x^3 - 1\)的常数项是\(-1\)（注意常数项的符号）。 多项式的项数： 一个多项式含有几项，就叫做几项式。例如：\(3x + 2\)是二项式（含有两项）；\(a^2 - 2ab + b^2\)是三项式（含有三项）；\(x^4 - 3x^2 + x - 5\)是四项式（含有四项）。 三、多项式的次数 定义： 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 例如：多项式\(3x^2 - 2x + 5\)中各项的次数分别是\(2\)（\(3x^2\)）、\(1\)（\(-2x\)）、\(0\)（\(5\)），次数最高的项是\(3x^2\)，次数为\(2\)，因此该多项式是二次多项式； 多项式\(a^3b + ab - 1\)中各项的次数分别是\(4\)（\(a^3b\)的次数为\(3 + 1 = 4\)）、\(2\)（\(ab\)的次数为\(1 + 1 = 2\)）、\(0\)（\(-1\)），次数最高的项是\(a^3b\)，次数为\(4\)，因此该多项式是四次多项式。 注意事项： 最高次项的确定：多项式的次数由次数最高的项决定，与其他项的次数无关。例如：多项式\(x^3 + 2x^5 - x^2\)中，\(2x^5\)的次数最高（\(5\)次），因此该多项式是五次多项式，而非三次多项式。 项的次数计算：计算项的次数时，需将该项中所有字母的指数相加。例如：项\(-3x^2y^3\)的次数是\(2 + 3 = 5\)。 多项式的命名：多项式的次数与项数结合，可以命名为 “几次几项式”。例如：\(2x^3 - 3x + 1\)是三次三项式；\(a^2b + ab^2\)是三次二项式。 四、整式的定义 核心概念： 单项式和多项式统称为整式。 例如：单项式\(3x\)、\(-5a^2b\)、\(7\)，多项式\(2x + 3\)、\(a^2 - 2ab + b^2\)都是整式；而分式（如\( ... ...