5.1.1.2方程的解及一元一次方程 课件（共28张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 5.1.1.2 方程的解及一元一次方程 在方程的基础概念中，方程的解是连接未知数与等量关系的关键纽带，而一元一次方程则是最基础的方程类型，是学习更复杂方程的起点。深入理解方程的解的本质、掌握一元一次方程的定义和特征，对后续解方程和解决实际问题具有重要意义。 一、方程的解的深化理解 方程的解的本质： 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的取值，它体现了未知数在特定条件下的 “满足性”。从数学意义上看，方程是一个关于未知数的条件等式，方程的解就是满足这个条件的未知数的值。例如：方程\(x + 3 = 5\)的解是\(x = 2\)，因为只有当\(x\)取\(2\)时，等式才能成立。 方程的解的个数： 不同类型的方程，解的个数可能不同： 一元一次方程通常有且只有一个解； 有些方程可能无解（如\(x + 1 = x + 2\)，无论\(x\)取何值，左右两边都不相等）； 有些方程可能有多个解（如\(x^2 = 4\)有两个解\(x = 2\)和\(x = -2\)）； 有些方程可能有无数个解（如\(2x + 4 = 2(x + 2)\)，无论\(x\)取何值，左右两边都相等）。 检验方程的解的步骤： 检验一个数是否为方程的解，需严格遵循以下步骤： 步骤 1：将待检验的数代入方程的左边，计算出结果； 步骤 2：将待检验的数代入方程的右边，计算出结果； 步骤 3：比较左右两边的结果，若相等，则该数是方程的解；若不相等，则不是。 示例：检验\(x = 4\)是否是方程\(3(x - 1) = 9\)的解。 解：代入左边：\(3 (4 - 1) = 3 3 = 9\)， 代入右边：\(9\)， 左边\(=\)右边，因此\(x = 4\)是该方程的解。 二、一元一次方程的定义 核心概念： 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是\(1\)（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 例如：\(5x + 7 = 22\)（只含未知数\(x\)，次数为\(1\)，整式方程）、\(3(y - 2) = 4y + 1\)（只含未知数\(y\)，次数为\(1\)）都是一元一次方程；而\(x + y = 5\)（含两个未知数）、\(x^2 - 4 = 0\)（未知数次数为\(2\)）、\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)（不是整式方程）都不是一元一次方程。 构成要素： 一元一次方程必须同时满足以下条件： 只含有一个未知数：方程中所有的未知数是同一个字母，不含有其他字母。例如：方程\(2x + 3 = 8\)只含未知数\(x\)，符合条件；方程\(2x + 3y = 8\)含两个未知数，不符合条件。 未知数的次数是\(1\)：方程中含有未知数的项的最高次数是\(1\)，且未知数不能在分母中（否则为分式方程）。例如：方程\(3x^2 + 5 = 11\)中未知数的次数是\(2\)，不符合条件；方程\(2(x + 1) = 5\)中未知数的次数是\(1\)，符合条件。 等号两边都是整式：方程的左右两边都是整式（分母中不含未知数）。例如：方程\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)是整式方程（\(\frac{x}{2}\)可化为\(\frac{1}{2}x\)，是单项式）；方程\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)是分式方程，不符合条件。 一元一次方程的标准形式： 一元一次方程的标准形式为\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)是常数，且\(a 0\)）。 \(a\)是未知数的系数，\(b\)是常数项； \(a 0\)是因为若\(a = 0\)，则方程变为\(b = 0\)，此时若\(b = 0\)，方程有无数个解；若\(b 0\)，方程无解，不再是一元一次方程。 例如：方程\(3x - 6 = 0\)是标准形式（\(a = 3\)，\(b = -6\)）；方程\(2x + 5 = 3x\)可整理为标准形式\(-x + 5 = 0\)（\(a = -1\)，\(b = 5\)）。 三、一元一次方程的识别方法 判断一个方程是否为一元一次方程，需按以下步骤逐一验证： 检查是否为整式方程：方程的左右两边是否都是整式（分母中不含未知数）。若不是整式方程，则直接排除。 确定未知数的个数：方程中是否只含有一个未知数。若含有两个或多个未知数，则不 ... ...