5.1.2 等式的性质 课件（共38张PPT）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

(课件网) 5.1.2 等式的性质 等式是数学中表示数量相等关系的基本形式，而等式的性质则是解方程的理论依据。掌握等式的性质，不仅能深入理解等式的本质，更能为后续学习一元一次方程的解法提供逻辑支撑。等式的性质看似简单，但其严谨性和应用的灵活性需要通过实例练习逐步体会。 一、等式的定义回顾 用等号 “\(=\)” 表示左右两边相等关系的式子叫做等式。例如：\(3 + 5 = 8\)、\(2x + 3 = 9\)、\(a + b = b + a\)都是等式。等式由左边的代数式、右边的代数式和连接它们的等号三部分组成，它反映了左右两边在数量上的等价关系。 二、等式的基本性质 等式的性质 1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a ± c = b ± c\)（\(c\)为任意数或整式）。 几何解释：若天平左右两边平衡（表示\(a = b\)），在两边同时添加或移除相同质量的物体（表示加或减\(c\)），天平仍然保持平衡（即\(a ± c = b ± c\)）。 实例解析： 已知\(x + 5 = 12\)，根据性质 1，两边同时减\(5\)得：\(x + 5 - 5 = 12 - 5\)，即\(x = 7\)； 已知\(a = b\)，两边同时加\((c + d)\)得：\(a + c + d = b + c + d\)，结果仍为等式。 等式的性质 2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为\(0\)的数，结果仍相等。 用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)（\(c\)为任意数，且除法中\(c 0\)）。 关键提醒：除以的数不能为\(0\)，因为\(0\)不能作为除数，否则等式无意义。例如：若\(a = b\)，不能推出\(\frac{a}{0} = \frac{b}{0}\)。 实例解析： 已知\(3x = 15\)，根据性质 2，两边同时除以\(3\)得：\(\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\)，即\(x = 5\)； 已知\(m = n\)，两边同时乘\(-2\)得：\(-2m = -2n\)，结果仍为等式； 已知\(4y = 12\)，若两边同时除以\(4\)得\(y = 3\)，但若除以\(0\)则无意义。 三、等式性质的拓展应用 等式的对称性： 如果\(a = b\)，那么\(b = a\)。例如：由\(5 = x + 2\)可得\(x + 2 = 5\)，这是等式左右两边的互换，本质上是等式性质的自然延伸。 等式的传递性： 如果\(a = b\)且\(b = c\)，那么\(a = c\)。例如：若\(x = y\)且\(y = 3\)，则\(x = 3\)，这体现了等量之间的间接相等关系。 含括号的等式变形： 当等式两边含有括号时，可先利用分配律去括号，再应用等式的性质变形。例如：解方程\(2(x + 3) = 10\)时，先去括号得\(2x + 6 = 10\)，再根据性质 1 两边减\(6\)得\(2x = 4\)，最后根据性质 2 两边除以\(2\)得\(x = 2\)。 四、利用等式的性质解方程 等式的性质是解方程的核心工具，其目标是通过等式变形将方程转化为\(x = a\)（\(a\)为常数）的形式。基本步骤如下： 消除常数项：利用等式的性质 1，在方程两边同时加或减同一个数（或式子），将方程左边化为只含未知数的项，右边化为常数项。例如：解方程\(x - 7 = 15\)时，两边加\(7\)得\(x = 22\)。 系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边同时乘未知数系数的倒数（或除以未知数的系数），将未知数的系数化为\(1\)。例如：解方程\(5x = 40\)时，两边除以\(5\)得\(x = 8\)。 示例：利用等式的性质解下列方程： （1）\(2x + 5 = 13\) （2）\(\frac{1}{3}x - 2 = 1\) 解： （1）两边减\(5\)（性质 1）：\(2x + 5 - 5 = 13 - 5\)，即\(2x = 8\)， 两边除以\(2\)（性质 2）：\(x = 4\)； （2）两边加\(2\)（性质 1）：\(\frac{1}{3}x - 2 + 2 = 1 + 2\)，即\(\frac{1}{3}x = 3\)， 两边乘\(3\)（性质 2）：\(x = 9\)。 五、常见错误与规避方法 等式变形时两边操作不一致： 常见错误： 解 ... ...