1.1.2勾股定理的图形验证 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 1.1.2 勾股定理的图形验证 勾股定理的魅力不仅在于其简洁的数量关系，更在于它能通过直观的图形构造得到验证。从古至今，数学家们创造了数百种图形验证方法，这些方法以巧妙的构图和严谨的推理，展现了 “数形结合” 的数学思想。本节将详细介绍几种经典的勾股定理图形验证方法，带你感受图形背后的逻辑力量。 一、赵爽弦图：中国古代的智慧结晶 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中提出的验证方法，是中国古代数学成就的重要标志，也是迄今为止最著名的勾股定理验证方法之一。 1. 构图步骤 取 4 个全等的直角三角形，设每个直角三角形的两条直角边分别为\(a\)（勾）和\(b\)（股），斜边为\(c\)（弦）。 将这 4 个直角三角形按 “外弦图” 方式摆放：以直角三角形的斜边为外边界，将 4 个三角形的直角顶点向内拼接，形成一个大正方形，中间自然围成一个小正方形。 大正方形的边长为直角三角形的斜边\(c\)，中间小正方形的边长为两条直角边的差\(|b - a|\)（若\(a = b\)，则小正方形退化为一点）。 2. 推理过程 大正方形面积的两种表示： 一方面，大正方形的边长为\(c\)，因此面积为\(c^2\)。 另一方面，大正方形的面积等于 4 个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和。每个直角三角形的面积为\(\frac{1}{2}ab\)，4 个三角形的总面积为\(4 \frac{1}{2}ab = 2ab\)；中间小正方形的边长为\(|b - a|\)，面积为\((b - a)^2\)（因平方后符号不影响，可省略绝对值）。 因此，大正方形面积可表示为\(2ab + (b - a)^2\)。 等式推导： 由两种面积表示方法相等可得：\( c^2 = 2ab + (b - a)^2 \) 展开右边式子：\(2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2\)，因此\(c^2 = a^2 + b^2\)，勾股定理得证。 3. 图形意义 赵爽弦图以对称、和谐的构图，将直角三角形与正方形巧妙结合，既体现了中国古代数学的严谨性，又展现了数学的美学价值。2002 年北京国际数学家大会的会徽就采用了赵爽弦图的设计，彰显了这一成果的国际影响力。 二、毕达哥拉斯拼图：西方经典证法 毕达哥拉斯学派的验证方法以 “面积守恒” 为核心，通过拼接不同的正方形和直角三角形，证明勾股定理的成立。 1. 构图步骤 取一个直角三角形，直角边为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)。 以直角边\(a\)为边长构造正方形\(A\)，以直角边\(b\)为边长构造正方形\(B\)，以斜边\(c\)为边长构造正方形\(C\)。 将正方形\(A\)、\(B\)和直角三角形进行分割，再将分割后的图形重新拼接，恰好能填满正方形\(C\)，且无重叠、无空隙。 2. 推理过程 面积关系： 正方形\(A\)的面积为\(a^2\)，正方形\(B\)的面积为\(b^2\)，两者面积之和为\(a^2 + b^2\)。 由于分割后的图形能完全拼接成正方形\(C\)，根据面积守恒原理，正方形\(A\)与\(B\)的面积之和等于正方形\(C\)的面积，即\(a^2 + b^2 = c^2\)。 3. 图形特点 毕达哥拉斯拼图的核心是 “分割 - 拼接” 的转化思想，通过具体的图形操作直观呈现面积相等关系，无需复杂的代数运算，适合初学者理解。 三、美国总统伽菲尔德的梯形证法：简洁的几何创新 1876 年，美国第 20 任总统伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了一种基于梯形面积的勾股定理证法，以其构思巧妙、步骤简洁而闻名。 1. 构图步骤 取两个全等的直角三角形，直角边为\(a\)、\(b\)（\(a < b\)），斜边为\(c\)，将它们的斜边相对，另一个直角边在同一直线上，拼接成一个直角梯形。 梯形的上底为\(a\)，下底为\(b\)，高为\(a + b\)，梯形内部形成一个等腰直角三角形，其直角边为\(c\)。 2. 推理过程 梯形面积的两种表示： 一方面，梯形面积公式为\(\frac{1}{2} ( + ) é \)，因此该梯形面积为\(\f ... ...