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课件网) 6.1.1 平均数与方差 在数据分析中，平均数和方差是描述数据特征的两个重要统计量。平均数反映了数据的集中趋势，即数据的平均水平；方差则反映了数据的离散程度，即数据相对于平均数的波动大小。掌握平均数和方差的计算方法及其意义，对于分析数据、做出决策具有重要作用。本节将详细学习平均数和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。 一、平均数 （一）基本概念 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。常见的平均数有算术平均数，对于一组数据，通常所说的平均数即指算术平均数。 （二）计算公式 设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，则这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)（读作 “\(x\)拔”）的计算公式为：\( \bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n} \) 其中，\(n\)为数据的个数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)为各个数据的值。 （三）实例解析 例 1：某学习小组 6 名同学的数学成绩（单位：分）分别为：85，92，78，90，88，95，求这组成绩的平均数。 解题步骤： 确定数据个数\(n = 6\)； 计算数据总和：\(85+92 + 78+90+88+95\)\(= (85 + 95)+(92 + 88)+(78 + 90)\)\(= 180+180 + 168\)\(= 528\)； 根据公式计算平均数：\(\bar{x}=\frac{528}{6}=88\)。 答：这组成绩的平均数为 88 分。 例 2：某班 40 名学生的身高（单位：cm）统计如下表，求该班学生的平均身高。 身高 155 160 165 170 175 人数 5 10 15 7 3 解题步骤： 明确数据与对应个数：身高分别为 155、160、165、170、175，对应人数分别为 5、10、15、7、3； 计算数据总和：\(155 5+160 10 + 165 15+170 7+175 3\)\(= 775+1600 + 2475+1190+525\)\(= 775+1600 = 2375\)；\(2375+2475 = 4850\)；\(4850+1190 = 6040\)；\(6040+525 = 6565\)； 数据总个数\(n=5 + 10+15 + 7+3=40\)； 计算平均数：\(\bar{x}=\frac{6565}{40}=164.125\)。 答：该班学生的平均身高为 164.125cm。 二、方差 （一）基本概念 方差是用来衡量一组数据波动大小的量。一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，说明这组数据的波动越小，数据越稳定。 （二）计算公式 设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则这组数据的方差\(s^2\)的计算公式为：\( s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2] \) 其中，\(n\)为数据的个数，\(\bar{x}\)为这组数据的平均数，\((x_i-\bar{x})^2\)表示每个数据与平均数的差的平方。 （三）实例解析 例 3：求例 1 中 6 名同学数学成绩的方差。 解题步骤： 由例 1 可知，这组数据的平均数\(\bar{x}=88\)； 计算每个数据与平均数的差的平方：\((85 - 88)^2=(-3)^2 = 9\)；\((92 - 88)^2=4^2 = 16\)；\((78 - 88)^2=(-10)^2 = 100\)；\((90 - 88)^2=2^2 = 4\)；\((88 - 88)^2=0^2 = 0\)；\((95 - 88)^2=7^2 = 49\)； 计算这些平方差的总和：\(9+16 + 100+4+0+49=178\)； 根据公式计算方差：\(s^2=\frac{1}{6} 178\approx29.67\)。 答：这组成绩的方差约为 29.67。 例 4：甲、乙两名运动员在最近几次训练中的跳高成绩（单位：m）如下： 甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75 分别计算甲、乙两名运动员跳高成绩的方差，并比较谁的成绩更稳定。 解题步骤： 计算甲运动员成绩的平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{1.70 + 1.65+1.68 + 1.69+1.72 + 1.73+1.68 + 1.67}{8}\)\(=\frac{(1.70+1.67)+(1.65+1.73)+(1.68+1.68)+(1.69+1.72)}{8}\)\(=\frac{3.37+3.38 + 3 ... ...
