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课件网) 6.1.3 方差 方差是描述数据离散程度的重要统计量，它能反映一组数据相对于平均数的波动大小。在实际生活中，我们不仅需要了解数据的平均水平，还需要知道数据的稳定性，方差正是衡量这种稳定性的关键指标。本节将深入学习方差的定义、计算方法、性质以及在数据分析中的具体应用，进一步完善对数据特征的理解。 一、方差的定义与意义 （一）定义 设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则每个数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作\(s^2\)。方差的本质是通过计算数据与平均数的偏离程度的平方的平均值，来衡量数据的离散程度。 （二）意义 反映波动程度：方差越大，说明数据与平均数的偏离程度越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，说明数据越集中在平均数附近，波动越小，稳定性越好。 弥补平均数的不足：平均数只能反映数据的集中趋势，无法体现数据的分布情况。两组数据的平均数可能相同，但方差可能差异很大，方差能补充说明数据的离散特征。例如，两名运动员的平均成绩相同，但方差小的运动员发挥更稳定。 二、方差的计算公式 （一）基本公式 方差的计算公式为：\( s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2] \) 其中，\(n\)为数据的个数，\(\bar{x}\)为这组数据的平均数，\((x_i-\bar{x})\)表示第\(i\)个数据与平均数的差，平方后可以避免正负抵消，更直观地反映偏离程度。 （二）公式变形（简化计算） 当数据较大时，直接使用基本公式计算方差较为繁琐，可通过代数变形简化计算：\( s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-n\bar{x}^2] \) 推导过程：\( \begin{align*} s^2&=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]\\ &=\frac{1}{n}[x_1^2 - 2x_1\bar{x}+\bar{x}^2 + x_2^2 - 2x_2\bar{x}+\bar{x}^2+\cdots + x_n^2 - 2x_n\bar{x}+\bar{x}^2]\\ &=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-2\bar{x}(x_1 + x_2+\cdots + x_n)+n\bar{x}^2]\\ &=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\bar{x}^2]\\ &=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2)-n\bar{x}^2] \end{align*} \) 此变形公式可减少计算步骤，尤其适用于数据较多或数值较大的情况。 三、方差的计算步骤与实例解析 （一）基本步骤 计算一组数据的方差，通常遵循以下步骤： 计算平均数：先求出这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)； 计算偏差平方：分别求出每个数据与平均数的差\((x_i-\bar{x})\)，并计算差的平方\((x_i-\bar{x})^2\)； 求平方和：将所有偏差平方相加，得到总和\(\sum_{i = 1}^n(x_i-\bar{x})^2\)； 计算方差：用平方和除以数据个数\(n\)，得到方差\(s^2\)。 （二）实例解析 例 1：计算数据\(3, 5, 7, 9, 11\)的方差。 解题步骤： 计算平均数\(\bar{x}\)：\(\bar{x}=\frac{3 + 5+7 + 9+11}{5}=\frac{35}{5}=7\)； 计算每个数据与平均数的差的平方：\((3 - 7)^2=(-4)^2 = 16\)；\((5 - 7)^2=(-2)^2 = 4\)；\((7 - 7)^2=0^2 = 0\)；\((9 - 7)^2=2^2 = 4\)；\((11 - 7)^2=4^2 = 16\)； 计算平方和：\(16+4 + 0+4+16=40\)； 计算方差：\(s^2=\frac{1}{5} 40 = 8\)。 答：这组数据的方差为 8。 例 2：甲、乙两组各 5 名学生的数学成绩（单位：分）如下： 甲组：80，85，90，95，100 乙组：85，85，90，95，95 分别计算两组成绩的方差，并比较哪组成绩更稳定。 解题步骤： 计算甲组平均数\(\bar{x}_ \)：\(\bar{x}_ =\frac{80 + 85+90 + 95+100}{5}=\frac{450}{5}=90\)； 计算甲组方差\(s_ ^2\)：\(s_ ^2=\frac{1}{5} ... ...
