11.3.1两数和乘以这两数的差 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：11.3.1 两数和乘以这两数的差 授课教师：[教师姓名] 授课班级：[具体班级] 配图建议：含有公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)的背景图，搭配面积差示意图突出公式的几何意义 幻灯片 2：目录 情境引入：平方差公式的实际背景 复习回顾：多项式与多项式相乘法则 平方差公式的推导 平方差公式的表述与特征 典型例题讲解 课堂互动：计算与辨析 课堂总结与归纳 课后作业布置 幻灯片 3：情境引入：平方差公式的实际背景 实际问题 1：一个边长为\(a\)的正方形，在一角剪去一个边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），求剩余部分的面积。 方法一：面积差 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = \(a^2 - b^2\)。 方法二：分割拼接为矩形，长 = \(a + b\)，宽 = \(a - b\)，面积 = \((a + b)(a - b)\)。 结论：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。 实际问题 2：计算\((100 + 1)(100 - 1)\)，你能快速得出结果吗？（引出简便计算的需求） 引入概念：像\((a + b)(a - b)\)这样，两数和与这两数差的乘积，可以用特殊公式简化计算，这就是平方差公式。 配图：正方形剪拼面积示意图（标注大正方形、小正方形和矩形的边长与面积） 幻灯片 4：复习回顾：多项式与多项式相乘法则 法则内容：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号表示：\((m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq\)。 示例应用： \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)。 \((2a - b)(3a + c) = 6a^2 + 2ac - 3ab - bc\)。 引入新问题：当两个多项式是 “两数和” 与 “这两数差” 的形式时，它们的乘积是否有规律可循？ 配图：多项式乘法分步展开示例图，标注各项相乘过程 幻灯片 5：平方差公式的推导 实例分析： 计算\((a + b)(a - b)\)： 应用多项式乘法法则：\(a a + a (-b) + b a + b (-b)\)。 化简计算：\(a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\)（中间两项互为相反数，合并后消去）。 计算\((x + 3)(x - 3)\)： 多项式乘法展开：\(x x + x (-3) + 3 x + 3 (-3) = x^2 - 3x + 3x - 9\)。 合并同类项：\(x^2 - 9\)。 计算\((2m + n)(2m - n)\)： 分步展开：\(2m 2m + 2m (-n) + n 2m + n (-n) = 4m^2 - 2mn + 2mn - n^2\)。 结果化简：\(4m^2 - n^2\)。 规律总结： 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。 配图：公式推导过程示意图，标注中间项消去的过程 幻灯片 6：平方差公式的表述与特征 文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 符号语言：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。 公式特征： 左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（\(a\)），另一项互为相反数（\(b\)与\(-b\)）。 右边：相同项的平方减去相反项的平方（\(a^2 - b^2\)）。 几何意义：表示边长为\(a\)的正方形面积与边长为\(b\)的正方形面积的差，可转化为长\((a + b)\)、宽\((a - b)\)的矩形面积。 示例辨析： 符合公式特征：\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4\)；\((3a + 5b)(3a - 5b) = (3a)^2 - (5b)^2 = 9a^2 - 25b^2\)。 不符合公式特征：\((x + 2)(x + 3)\)（无相反项）；\((2a + b)(-2a - b)\)（无相同项，两项均相反）。 配图：公式特征对比图（左边项的关系、右边结果形式），几何意义示意图 幻灯片 7：典型例题讲解（一）——— 直接应用公式 例题 1：运用平方差公式计算下列各题。 （1）\((x + 5)(x - 5)\) 解：原式 = \(x^2 - 5^2 = x^2 - 25\)。 （2）\((3a - 2b)(3a + 2b)\) 解：原式 = \((3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2\)。 （3）\((-m + n)(-m - n)\) 解： ... ...