1.3.1利用平方差公式进行因式分解 课件（共34张PPT）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

(课件网) 1.3.1 利用平方差公式进行因式分解教学幻灯片分页内容 第 1 页：标题页 标题：1.3.1 利用平方差公式进行因式分解 副标题：初中数学 [对应年级] 授课教师：[教师姓名] 日期：[授课日期] 第 2 页：复习回顾与引入 回顾整式乘法公式：我们学过平方差公式的整式乘法形式，即\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 问题引入：根据因式分解与整式乘法的互逆关系，你能将\(a^2 - b^2\)分解因式吗？（由整式乘法公式逆向可得\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)） 引入概念：像这样利用平方差公式将多项式分解因式的方法，叫做利用平方差公式进行因式分解。 学习意义：平方差公式是因式分解的重要方法之一，能快速分解特定形式的多项式，为解决更复杂的因式分解问题提供工具。 第 3 页：学习目标 知识目标：理解因式分解中平方差公式的推导过程；掌握平方差公式的结构特征和适用条件；能熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。 能力目标：通过观察多项式的结构特征，培养判断多项式是否适用平方差公式的能力；在因式分解过程中，提高代数式变形的灵活性和准确性。 情感目标：体会整式乘法与因式分解的互逆关系，感受数学知识的逻辑性和严谨性，激发学习数学的兴趣。 第 4 页：知识点 1——— 平方差公式的因式分解形式 公式推导：由整式乘法平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，逆向运用可得因式分解的平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。 语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 图形解释：结合正方形面积差模型，边长为\(a\)的正方形面积减去边长为\(b\)的正方形面积（\(a > b\)），可转化为长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形面积，直观体现公式的几何意义。 公式本质：将二项式的平方差形式转化为两个一次多项式的乘积形式。 第 5 页：知识点 2——— 平方差公式的结构特征 项数特征：多项式是二项式，即由两项组成。 符号特征：两项的符号相反，一项为正，一项为负。 形式特征：两项都能写成平方的形式，即可以表示为\( ^2 - ^2\)的形式（其中\( \)和\( \)可以是单项式或多项式）。 示例分析： 多项式\(x^2 - 9\)：是二项式，两项符号相反（\(x^2\)为正，\(-9\)为负），\(x^2 = x^2\)，\(9 = 3^2\)，符合平方差公式特征。 多项式\(4a^2 - b^2\)：二项式，符号相反，\(4a^2=(2a)^2\)，\(b^2 = b^2\)，符合特征。 多项式\(x^2 + y^2\)：两项符号相同，不符合特征；多项式\(x^3 - 4\)：\(x^3\)不是平方形式，不符合特征。 第 6 页：例题 1——— 判断是否适用平方差公式 例 1：下列多项式中，能利用平方差公式分解因式的是（ ） A. \(x^2 + y^2\) B. \(-x^2 - y^2\) C. \(x^2 - y^3\) D. \(-x^2 + y^2\) 解析：A 选项两项符号相同，不符合；B 选项可化为\(-(x^2 + y^2)\)，两项符号相同，不符合；C 选项\(y^3\)不是平方形式，不符合；D 选项可化为\(y^2 - x^2\)，是二项式，符号相反，且都是平方形式，符合。答案：D 例 2：下列多项式能否用平方差公式分解因式？若能，指出公式中的\(a\)和\(b\)分别是什么。 （1）\(m^2 - 1\) 能，\(a = m\)，\(b = 1\) （2）\(4x^2 - 9y^2\) 能，\(a = 2x\)，\(b = 3y\) （3）\(x^2 + 2x\) 不能（不是平方差形式） （4）\((a + b)^2 - c^2\) 能，\(a = a + b\)，\(b = c\) 第 7 页：知识点 3——— 利用平方差公式分解因式的步骤 步骤详解： 第一步：判断多项式是否符合平方差公式的结构特征（二项式、符号相反、两项都是平方形式）。 第二步：将多项式写成\( ^2 - ^2\)的形式，明确\( \)和\( \)分别代表的代数式。 第三步：套用平方 ... ...