3.1.1二次根式的概念及性质 课件（共37张PPT））湘教版2025-2026学年八年级数学上册

(课件网) 3.1.1 二次根式的概念及性质教学幻灯片分页内容 第 1 页：标题页 标题：3.1.1 二次根式的概念及性质 副标题：初中数学 [对应年级] 授课教师：[教师姓名] 日期：[授课日期] 第 2 页：复习回顾与引入 回顾平方根：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根，记作\(\pm\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）。正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 问题情境：在解决实际问题时，我们经常会遇到形如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子。例如，一个正方形的面积为\(5\)平方米，它的边长是多少？答案是\(\sqrt{5}\)米，这样的式子有什么特点？它具备哪些性质？ 引入概念：形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式，其中 “\(\sqrt{}\)” 叫做二次根号，\(a\)叫做被开方数。本节课我们将学习二次根式的概念及性质。 学习意义：掌握二次根式的概念及性质，是学习二次根式运算、化简及解决实际问题的基础，能进一步完善实数的运算体系。 第 3 页：学习目标 知识目标：理解二次根式的概念，明确二次根式有意义的条件；掌握二次根式的基本性质，并能运用性质进行简单的化简和计算。 能力目标：通过观察、分析二次根式的实例，培养抽象概括能力；在探究二次根式性质的过程中，提高推理能力和运算能力。 情感目标：感受数学与实际生活的联系，体会数学的严谨性，激发学习数学的兴趣和积极性。 第 4 页：知识点 1——— 二次根式的概念 概念定义：形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式。 关键词解析： 形式特征：必须含有二次根号 “\(\sqrt{}\)”，且根指数为 2（通常省略不写）。 被开方数：被开方数\(a\)可以是数、单项式、多项式等，但必须满足\(a\geq0\)，否则二次根式无意义。 取值范围：二次根式\(\sqrt{a}\)的结果是非负数，即\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）。 示例辨析： 二次根式：\(\sqrt{3}\)（被开方数 3≥0）、\(\sqrt{x + 1}\)（\(x + 1\geq0\)即\(x\geq-1\)）、\(\sqrt{a^2}\)（\(a^2\geq0\)恒成立）。 非二次根式：\(\sqrt[3]{2}\)（根指数为 3，是三次根式）、\(\sqrt{-2}\)（被开方数 - 2<0，无意义）、\(2\sqrt{a}\)（是 2 与\(\sqrt{a}\)的乘积，\(\sqrt{a}\)是二次根式）。 第 5 页：例题 1——— 二次根式有意义的条件 例 1：求下列二次根式中字母的取值范围。 （1）\(\sqrt{x - 2}\) 解析：要使二次根式有意义，被开方数必须大于或等于 0，即\(x - 2\geq0\)，解得\(x\geq2\)。 （2）\(\sqrt{\frac{1}{x + 3}}\) 解析：被开方数\(\frac{1}{x + 3}\geq0\)，且分母不能为 0，即\(x + 3>0\)，解得\(x>-3\)。 （3）\(\sqrt{a^2 + 1}\) 解析：因为\(a^2\geq0\)，所以\(a^2 + 1\geq1>0\)，无论\(a\)取何实数，二次根式都有意义，即\(a\)的取值范围是全体实数。 （4）\(\sqrt{-(x - 1)^2}\) 解析：被开方数\(-(x - 1)^2\geq0\)，即\((x - 1)^2\leq0\)，又因为\((x - 1)^2\geq0\)，所以\((x - 1)^2 = 0\)，解得\(x = 1\)。 第 6 页：知识点 2——— 二次根式的性质 1 性质 1 内容：\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）。 推导验证：根据二次根式的定义，\(\sqrt{a}\)是\(a\)的算术平方根，即\((\sqrt{a})^2=a\)。例如\((\sqrt{5})^2 = 5\)，\((\sqrt{2})^2=2\)。 几何意义：边长为\(\sqrt{a}\)的正方形的面积是\(a\)。 示例分析： \((\sqrt{7})^2 = 7\)。 \((\sqrt{x + 1})^2=x + 1\)（\(x\geq-1\)）。 \((2\sqrt{3})^2=2^2 (\sqrt{3})^2=4 3 = 12\)（利用积的乘方性质）。 第 7 页：例题 2——— 利用性质 1 计算 例 2：计算下列各式。 （1）\((\sqrt{6})^2\) 解析：根据性质 1， ... ...