3.3.2二次根式的混合运算 课件（共34张PPT）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

(课件网) 3.3.2 二次根式的混合运算教学幻灯片分页内容 第 1 页：标题页 标题：3.3.2 二次根式的混合运算 副标题：初中数学 [对应年级] 授课教师：[教师姓名] 日期：[授课日期] 第 2 页：复习回顾与引入 回顾旧知：前面我们学习了二次根式的加减、乘法和除法运算。加减运算要先化简再合并同类二次根式；乘法法则为\(\sqrt{a} ·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）；除法法则为\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。 问题情境：遇到像\((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)\)、\(\sqrt{12} ·\sqrt{3}+(2\sqrt{5})^2\)这样包含多种运算的式子，该如何计算呢？ 引入概念：二次根式的混合运算就是同时包含加减、乘除、乘方等多种运算的式子，其运算顺序和整式混合运算相似。本节课我们就来学习二次根式混合运算的方法。 学习意义：掌握二次根式混合运算，能综合运用所学知识解决复杂运算问题，提升数学运算能力和逻辑思维能力。 第 3 页：学习目标 知识目标：清楚二次根式混合运算的顺序；熟练进行二次根式的混合运算；会运用乘法公式简化运算过程。 能力目标：通过类比整式混合运算，培养知识迁移能力；在复杂运算中，提高运算的准确性和灵活性。 情感目标：感受数学运算的严谨性，体会知识间的联系，增强学好数学的信心。 第 4 页：知识点 1——— 混合运算的顺序 运算顺序规定： 先算乘方（包括二次根式的乘方）。 再算乘除（从左到右依次进行）。 最后算加减（从左到右依次进行）。 有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 核心原则：和整式混合运算顺序一致，遵循 “先高级运算后低级运算，有括号先算括号内” 的规则。 示例说明：计算\(\sqrt{8} ·\sqrt{2}+(3\sqrt{2}-1)^2\)，要先算除法和乘方，再算加法。 第 5 页：例题 1——— 基础混合运算（加减与乘除） 例 1：计算下列各式。 （1）\(\sqrt{18} ·\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\) 解析： 先算除法：\(\sqrt{18} ·\sqrt{2}=\sqrt{9}=3\)。 再算加减：\(3 + 3\sqrt{2}-5=3\sqrt{2}-2\)。 （2）\(2\sqrt{12} \frac{\sqrt{3}}{3} ·\sqrt{2}\) 解析： 从左到右算乘除：\(2\sqrt{12} \frac{\sqrt{3}}{3}=2 \frac{1}{3} \sqrt{12 3}=\frac{2}{3} \sqrt{36}=\frac{2}{3} 6 = 4\)。 继续算除法：\(4 ·\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)。 （3）\((\sqrt{20}+\sqrt{5}) \sqrt{\frac{1}{5}}-2\) 解析： 先化简括号内：\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)，则括号内为\(2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)。 算乘法：\(3\sqrt{5} \sqrt{\frac{1}{5}}=3\sqrt{1}=3\)。 算减法：\(3 - 2 = 1\)。 第 6 页：知识点 2——— 运用乘法公式简化运算 常用乘法公式： 平方差公式：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，这里的\(a\)、\(b\)可以是二次根式。 完全平方公式：\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。 公式应用优势：能减少运算步骤，让计算更简便快捷。 示例分析： \((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5 - 2 = 3\)（平方差公式）。 \((\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2+2 \sqrt{3} 1 + 1^2=3 + 2\sqrt{3}+1=4 + 2\sqrt{3}\)（完全平方公式）。 第 7 页：例题 2——— 运用乘法公式的运算 例 2：计算下列各式。 （1）\((\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})\) 解析：用平方差公式，\((\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7 - 3 = 4\)。 （2）\((2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2\) 解析：用完全平方公式，\((2\sqrt{2})^2-2 2\sqrt{2} \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=8 - 4\sqrt{10}+5=13 - 4\sqrt{10}\)。 （3）\((\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)-(\sqrt{3}-1)^2\) ... ...