2.1 一元二次方程 课件（共34张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：2.1 一元二次方程 副标题：认识新方程，探索其本质 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：情境引入 生活中的数学问题 问题 1：一个正方形的面积是\(25cm \)，求这个正方形的边长。设边长为\(x cm\)，可列方程\(x =25\)。 问题 2：某工厂计划生产一批产品，原计划每天生产\(x\)件，\(10\)天完成。实际每天多生产\(5\)件，结果提前\(2\)天完成，求原计划每天生产的件数。可列方程\(10x=(x + 5)(10 - 2)\)，整理得\(x +5x - 200=0\)。 思考：这些方程与我们之前学过的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同特征？ 幻灯片 3：一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(2\)的整式方程，叫做一元二次方程。 关键词解析 “只含有一个未知数”：方程中只有一个变量，如\(x\)、\(y\)等。 “未知数的最高次数是\(2\)”：方程中未知数的最高幂次为\(2\)，即存在\(x \)这样的项。 “整式方程”：方程的两边都是整式，分母中不含未知数，根号下不含未知数。 幻灯片 4：一元二次方程的一般形式 一般形式：\(ax +bx + c=0\)（\(a 0\)） 其中\(ax \)叫做二次项，\(a\)叫做二次项系数。 \(bx\)叫做一次项，\(b\)叫做一次项系数。 \(c\)叫做常数项。 注意事项 \(a 0\)是一元二次方程的重要条件，若\(a = 0\)，则方程变为一元一次方程。 一次项系数\(b\)和常数项\(c\)可以为\(0\)。当\(b = 0\)时，方程为\(ax + c=0\)；当\(c = 0\)时，方程为\(ax +bx=0\)；当\(b = 0\)且\(c = 0\)时，方程为\(ax =0\)（\(a 0\)）。 幻灯片 5：判断一元二次方程 例题：判断下列方程是否为一元二次方程，若是，请指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）\(3x - 5x + 1=0\) （2）\(2x - x =0\) （3）\(x(x + 3)=x - 1\) （4）\(\frac{1}{x }+x = 2\) （5）\((x + 2) =4\) 解答 （1）是一元二次方程。二次项系数是\(3\)，一次项系数是\(-5\)，常数项是\(1\)。 （2）是一元二次方程。整理为\(-x + 2x=0\)，二次项系数是\(-1\)，一次项系数是\(2\)，常数项是\(0\)。 （3）不是一元二次方程。整理得\(3x + 1=0\)，是一元一次方程。 （4）不是一元二次方程。方程中含有分式\(\frac{1}{x }\)，不是整式方程。 （5）是一元二次方程。整理得\(x + 4x=0\)，二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(4\)，常数项是\(0\)。 幻灯片 6：将方程化为一般形式 例题：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）\(x(x - 2)=3\) （2）\((x + 1)(x - 1)=2x\) （3）\(2x =(x + 1) \) 解答 （1）去括号得\(x -2x=3\)，移项得\(x -2x - 3=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-3\)。 （2）去括号得\(x -1=2x\)，移项得\(x -2x - 1=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-1\)。 （3）去括号得\(2x =x + 2x + 1\)，移项得\(2x -x -2x - 1=0\)，合并同类项得\(x -2x - 1=0\)。二次项系数是\(1\)，一次项系数是\(-2\)，常数项是\(-1\)。 幻灯片 7：一元二次方程的解 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 例题：判断下列各数是不是方程\(x -3x + 2=0\)的根。 （1）\(x = 1\) （2）\(x = 2\) （3）\(x = 3\) 解答 （1）当\(x = 1\)时，左边\(=1 -3 1 + 2=1 - 3 + 2=0\)，右边\(=0\)，左边 = 右边，所以\(x = 1\)是方程的根。 （2）当\(x = 2\)时，左边\(=2 -3 2 + 2=4 - 6 + 2=0\)，右边\(=0\)，左边 = 右边，所以\(x = 2\)是方程的根。 （3）当\(x = 3\)时，左边\(=3 -3 3 + 2=9 - 9 + 2=2\)，右边\(=0\)，左边≠右边， ... ...