2.2.3.1因式分解法解一元二次方程 课件（共29张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：2.2.3.1 因式分解法解一元二次方程 副标题：因式转化，快速求解 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：复习回顾 前面学过的解法：直接开平方法适用于特殊形式方程，配方法和公式法适用于所有一元二次方程，但步骤相对复杂。 思考：对于一些能因式分解的一元二次方程，是否有更简便的解法？例如方程\(x - 3x + 2 = 0\)可化为\((x - 1)(x - 2) = 0\)，进而得到\(x = 1\)或\(x = 2\)，这种解法就是因式分解法。 幻灯片 3：因式分解法的原理 乘法原理：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0，即若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)。 核心思路：将一元二次方程化为一般形式后，通过因式分解把方程左边化为两个一次因式的乘积，右边化为 0，即\((mx + n)(px + q) = 0\)，再转化为两个一元一次方程求解。 幻灯片 4：因式分解法的适用形式 方程一边为 0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，即形如\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）且左边可因式分解。 常见的可因式分解类型： 提公因式法：如\(x + ax = 0\)可化为\(x(x + a) = 0\)。 平方差公式：如\(x - a = 0\)可化为\((x + a)(x - a) = 0\)。 完全平方公式：如\(x + 2ax + a = 0\)可化为\((x + a) = 0\)。 十字相乘法：如\(x + (a + b)x + ab = 0\)可化为\((x + a)(x + b) = 0\)。 幻灯片 5：因式分解法解题步骤 化为一般形式：将方程化为\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的形式，使方程右边为 0。 因式分解：把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积。 转化方程：根据乘法原理，得到两个一元一次方程。 求解方程：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 幻灯片 6：例题讲解 1 - 提公因式法 题目：解方程\(x - 5x = 0\) 解答 化为一般形式：\(x - 5x = 0\)（右边已为 0）。 因式分解：左边提取公因式\(x\)，得\(x(x - 5) = 0\)。 转化方程：根据乘法原理，得\(x = 0\)或\(x - 5 = 0\)。 求解方程：解得\(x = 0\)，\(x = 5\)。 所以方程的根为\(x = 0\)，\(x = 5\)。 幻灯片 7：例题讲解 2 - 平方差公式 题目：解方程\(4x - 9 = 0\) 解答 化为一般形式：\(4x - 9 = 0\)（右边已为 0）。 因式分解：左边利用平方差公式\(a - b =(a + b)(a - b)\)，得\((2x + 3)(2x - 3) = 0\)。 转化方程：得\(2x + 3 = 0\)或\(2x - 3 = 0\)。 求解方程：解得\(x = -\frac{3}{2}\)，\(x = \frac{3}{2}\)。 所以方程的根为\(x = -\frac{3}{2}\)，\(x = \frac{3}{2}\)。 幻灯片 8：例题讲解 3 - 十字相乘法（二次项系数为 1） 题目：解方程\(x + 6x + 8 = 0\) 解答 化为一般形式：\(x + 6x + 8 = 0\)（右边已为 0）。 因式分解：常数项 8 可分解为 2 和 4，且 2 + 4 = 6（一次项系数），所以左边分解为\((x + 2)(x + 4) = 0\)。 转化方程：得\(x + 2 = 0\)或\(x + 4 = 0\)。 求解方程：解得\(x = -2\)，\(x = -4\)。 所以方程的根为\(x = -2\)，\(x = -4\)。 幻灯片 9：例题讲解 4 - 十字相乘法（二次项系数不为 1） 题目：解方程\(2x - 7x + 3 = 0\) 解答 化为一般形式：\(2x - 7x + 3 = 0\)（右边已为 0）。 因式分解：二次项系数 2 分解为 1 和 2，常数项 3 分解为 - 1 和 - 3，交叉相乘再相加：\(1 (-3)+2 (-1)=-5\)（不符合）；换常数项分解为 - 3 和 - 1，交叉相乘再相加：\(1 (-1)+2 (-3)=-7\)（符合一次项系数），所以左边分解为\((x - 3)(2x - 1) = 0\)。 转化方程：得\(x - 3 = 0\)或\(2x - 1 = 0\)。 求解方程：解得\(x = 3\)，\(x = \frac{1}{2}\)。 所以方程的根为\(x = 3\)，\(x = \frac{1}{2}\)。 幻灯片 10：例题讲解 5 - 先整理再因式分解 题目： ... ...