4.1.3余弦（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：4.1.3 余弦 副标题：探究直角三角形中锐角邻边与斜边的比值关系 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：复习回顾与引入 正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。 特殊角的正弦值：\(\sin 30 ° = \frac{1}{2}\)，\(\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。 思考问题：在直角三角形中，除了锐角的对边与斜边的比值，锐角的邻边与斜边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的余弦。 幻灯片 3：余弦的定义 定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的邻边与斜边的比叫做∠\(A\)的余弦，记作\(\cos A\)，即：\( \cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} \) 符号解读：“\(\cos\)” 是余弦的符号，读作 “扣赛因”，\(\cos A\)表示一个整体，不是\(\cos\)与\(A\)的乘积。 注意事项： 余弦的定义仅适用于直角三角形。 比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。 比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。 幻灯片 4：余弦定义的应用 图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 4\)，\(AB = 5\)，则\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)。 角度与余弦值的关系：锐角的余弦值随角度的增大而减小（后续会深入学习）。 特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\cos B = \frac{ B é è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}\)。 幻灯片 5：30° 角的余弦值 推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{AB - BC } = \sqrt{(2a) - a } = \sqrt{3}a\)。 ∠\(A\)的邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)，斜边为\(AB = 2a\)。 根据余弦定义，\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。 结论：\(\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。 幻灯片 6：45° 角的余弦值 推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)，则\(AB = \sqrt{2}a\)。 ∠\(A\)的邻边为\(AC = a\)，斜边为\(AB = \sqrt{2}a\)。 根据余弦定义，\(\cos 45 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。 结论：\(\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。 幻灯片 7：60° 角的余弦值 推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(AB = 2a\)。 ∠\(A\)的邻边为\(AC = a\)，斜边为\(AB = 2a\)。 根据余弦定义，\(\cos 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)。 结论：\(\cos 60 ° = \frac{1}{2}\)。 幻灯片 8：特殊角的余弦值总结 锐角 α 30° 45° 60° \(\cos ±\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) 记忆技巧：与正弦值对比记忆，30° 和 60° 的余弦值恰好是正弦值交换，45° 的余弦值与正弦值相同。 重要说明：特殊角的余弦值也是常用基础数据，需准确记忆并熟练应用。 幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算余弦值 题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\cos A\)和\(\cos B\)的值。 解答： 由勾股定理得，\(AB = \sqrt{AC + BC } = \sqrt{5 + 12 } = 13\)。 ∠\(A\)的邻边为\(AC = 5\)，斜边为\(AB = 13\)，因此\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}\)。 ∠\(B\)的邻边为\(BC = 12\)，斜边为\(AB = 13\)，因此\(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}\)。 答：\(\cos A = \frac{5}{13}\)，\(\cos B = \frac{ ... ...