2.6.2 应用一元二次方程(2)（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

(课件网) 2.6.2 应用一元二次方程 (2) 在实际生活中，除了增长率和利润问题，几何图形中的长度、面积、体积等问题也常需要用一元二次方程求解。这类问题往往涉及图形的边长、高度、距离等数量关系，需要结合几何图形的性质和公式建立方程。本节将重点讲解几何图形中的一元二次方程应用，包括矩形、三角形、圆形等图形的面积与边长问题，以及动态几何问题，帮助你进一步掌握用方程解决实际问题的方法。 一、几何图形的面积与边长问题 几何图形问题的核心是根据图形的面积公式或周长公式，结合题目中的数量关系列出方程。常见的图形包括矩形、正方形、三角形、梯形等，解题时需注意图形的性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理等）。 （一）矩形与正方形问题 矩形和正方形是几何问题中最常见的图形，其面积公式为 “面积 = 长 × 宽”，周长公式为 “周长 = 2×（长 + 宽）”。解决这类问题时，需关注边长的变化对面积的影响，或面积的限制对边长的要求。 例 1： 一个矩形的周长为 40 厘米，面积为 96 平方厘米，求矩形的长和宽。 解： 审清题意：已知矩形周长 40 厘米，面积 96 平方厘米，求长和宽。 设未知数：设矩形的长为\(x\)厘米，则宽为\((20 - x)\)厘米（因周长为 40 厘米，长 + 宽 = 20 厘米）。 列出方程：根据面积公式，长 × 宽 = 面积，即：\( x(20 - x) = 96 \) 解方程：\( 20x - x^2 = 96 \\ x^2 - 20x + 96 = 0 \) 因式分解得\((x - 12)(x - 8) = 0\)，解得\(x_1 = 12\)，\(x_2 = 8\)。 检验结果： 当长为 12 厘米时，宽为 20 - 12 = 8 厘米，面积为 12×8 = 96 平方厘米，合理； 当长为 8 厘米时，宽为 20 - 8 = 12 厘米（长应大于宽，故取长 12 厘米，宽 8 厘米）。 写出答案：矩形的长为 12 厘米，宽为 8 厘米。 例 2： 如图 1，在一块长为 25 米、宽为 18 米的矩形空地中，修建两条宽度均为\(x\)米的互相垂直的小路（一条平行于长，一条平行于宽），剩余部分种植草坪，草坪面积为 400 平方米，求小路的宽度。 解： 审清题意：矩形空地长 25 米、宽 18 米，两条垂直小路宽均为\(x\)米，草坪面积 400 平方米，求\(x\)。 设未知数：设小路的宽度为\(x\)米。 表示相关量： 种植草坪的区域可看作一个长为\((25 - x)\)米、宽为\((18 - x)\)米的矩形（小路平移后草坪为完整矩形）； 列出方程：草坪面积 = 长 × 宽，即：\( (25 - x)(18 - x) = 400 \) 解方程：\( 450 - 25x - 18x + x^2 = 400 \\ x^2 - 43x + 50 = 0 \) 用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -43\)，\(c = 50\)：\( \Delta = (-43)^2 - 4 1 50 = 1849 - 200 = 1649 \\ x = \frac{43 \pm\sqrt{1649}}{2} \approx \frac{43 \pm 40.61}{2} \) 解得\(x_1 \approx \frac{43 + 40.61}{2} \approx 41.8\)（舍去，超过矩形宽度），\(x_2 \approx \frac{43 - 40.61}{2} \approx 1.195\)米（约 1.2 米）。 检验结果：\(x \approx 1.2\)米时，草坪长≈25 - 1.2 = 23.8 米，宽≈18 - 1.2 = 16.8 米，面积≈23.8×16.8≈400 平方米，合理。 写出答案：小路的宽度约为 1.2 米。 （二）直角三角形问题 直角三角形问题常涉及勾股定理（直角边的平方和等于斜边的平方）和面积公式（面积 =× 直角边 1× 直角边 2），需根据这两个公式建立等量关系。 例 3： 一个直角三角形的斜边长为 10 厘米，两条直角边的差为 2 厘米，求较短的直角边的长度。 解： 审清题意：直角三角形斜边长 10 厘米，两直角边差 2 厘米，求较短直角边。 设未知数：设较短的直角边为\(x\)厘米，则较长的直角边为\((x + 2)\)厘米。 列出方程：根据勾股定理，得：\( x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \) 解方程：\( x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 ... ...