23.3.4 相似三角形的应用 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：23.3.4 相似三角形的应用 副标题：用相似性质解决生活中的测量与几何问题 适用教材：华东师大版数学九年级上册 授课教师：[具体姓名] 授课班级：[具体班级] 授课时间：[具体时间] 设计思路：以 “生活问题→数学建模→相似应用→解决问题” 为路径，提升实践能力 幻灯片 2：课程导入 情境展示： 图片 1：小明站在旗杆旁，想知道旗杆的高度，但无法直接攀爬测量。 图片 2：工程师在河边，需要测量河对岸两点之间的距离，无法直接跨越河流。 图片 3：零件图纸上，一个三角形零件的尺寸标注不全，需要根据相似关系补全。 引导提问：这些问题中，我们都无法直接测量所需的长度，那能不能利用我们学过的相似三角形的性质来解决呢？相似三角形的对应边成比例、对应高成比例等性质，正是解决这类 “间接测量” 问题的关键。今天我们就来探索相似三角形在生活和数学中的具体应用。 幻灯片 3：应用场景 1——— 测量物体高度（利用平行投影） 原理分析： 平行投影特点：在同一时刻，太阳光可以看作平行光线，此时物体的高度与它的影子长度的比是一个固定值。若两个物体都垂直于地面，则它们与各自的影子构成的两个直角三角形相似（AA 判定：直角相等，太阳光与地面夹角相等）。 实例讲解： 问题：在同一时刻，测得小明的身高为 1.6m，他的影子长度为 2m；同时测得旗杆的影子长度为 15m，求旗杆的高度。 解题步骤： 建立模型：设小明身高为\(h_1 = 1.6m\)，影子长\(l_1 = 2m\)；旗杆高度为\(h_2\)（未知），影子长\(l_2 = 15m\)。由于△小明（直角三角形）∽△旗杆（直角三角形），故\(\frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2}\)。 代入计算：\(\frac{1.6}{2} = \frac{h_2}{15}\)，解得\(h_2 = \frac{1.6 15}{2} = 12m\)。 结论：旗杆的高度为 12m。 注意要点：确保物体与地面垂直，且在同一时刻测量（保证平行光线的夹角相同）。 幻灯片 4：应用场景 2——— 测量物体高度（利用标杆） 原理分析： 当没有平行投影条件时，可使用标杆辅助测量。观察者、标杆顶部、物体顶部在同一直线上，观察者与标杆、观察者与物体分别构成两个相似的直角三角形（AA 判定：直角相等，公共角相等）。 实例讲解： 问题：观察者站在距离建筑物 10m 处，眼睛距离地面 1.5m；在观察者与建筑物之间放置一根高 2m 的标杆，标杆距离观察者 3m，且标杆垂直于地面。求建筑物的高度。 解题步骤： 建立模型：设观察者眼睛位置为点 A，标杆顶部为点 B，建筑物顶部为点 C；观察者脚的位置为点 D，标杆底部为点 E，建筑物底部为点 F。则 AD = 1.5m（眼睛高度），BE = 2m（标杆高），DE = 3m（观察者到标杆距离），DF = 10m（观察者到建筑物距离），EF = DF - DE = 7m。△ABE ∽ △ACD（AA 判定：∠A 为公共角，∠AEB = ∠ADC = 90°）。 计算对应边：AE = DE = 3m，AD = DF = 10m，BE - AD = 2 - 1.5 = 0.5m（标杆超出眼睛的高度）。设建筑物超出眼睛的高度为\(x\)，则\(\frac{0.5}{3} = \frac{x}{10}\)，解得\(x = \frac{0.5 10}{3} 1.67m\)。 求建筑物高度：建筑物高度 = 眼睛高度 + \(x\) = 1.5 + 1.67 ≈ 3.17m（或用分数表示为\(\frac{19}{6}m\)）。 图形标注：在幻灯片上画出示意图，标注各点和线段长度，帮助学生理解模型构建。 幻灯片 5：应用场景 3——— 测量两点间距离（无法直接到达） 原理分析： 对于无法直接到达的两点（如河对岸的 A、B 两点），可在地面上选取一点 C，连接 AC、BC 并延长，使 CD = AC，CE = BC，连接 DE。此时△ABC ∽ △DEC（SAS 判定：AC = CD，BC = CE，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）），故 AB = DE，测量 DE 的长度即可得到 AB 的长度。 实例讲 ... ...