24.2.2 公式法（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

幻灯片 1：封面 标题：24.2.2 公式法 副标题：一元二次方程的通用求解公式 背景图：展示从配方法步骤推导出求根公式的逻辑链条图，搭配公式法解题的流程图，凸显公式法的通用性和便捷性。 幻灯片 2：情境回顾与问题引入 旧知回顾：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，其核心是将方程转化为\((x+m)^2=n\)的形式。但对于复杂方程，每次配方计算繁琐，能否找到更直接的求解公式？ 配方法的局限性：配方法需要逐步变形，步骤较多，容易在配方或计算过程中出错，尤其是系数较大或含分数时。 问题提出：对于一般形式的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)），能否通过配方法推导出一个通用的求根公式，直接代入系数求解？引出 “公式法” 的概念。 幻灯片 3：求根公式的推导 推导过程： 化二次项系数为 1：方程两边同除以\(a\)，得\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)。 移项：把常数项移到右边，得\(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)。 配方：两边加一次项系数一半的平方\((\frac{b}{2a})^2\)，得：\( x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \) 化为完全平方形式：左边为\((x+\frac{b}{2a})^2\)，右边合并得：\( (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \) 开方条件：当\(b^2-4ac???0\)时，两边开平方得：\( x+\frac{b}{2a}=?±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) 求解得公式：\( x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) 结论：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)）的求根公式为\(x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（其中\(b^2-4ac???0\)）。 幻灯片 4：公式法的定义与根的判别式 公式法定义：利用求根公式\(x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)直接求解一元二次方程的方法，叫做公式法。 根的判别式：把\(\Delta=b^2-4ac\)叫做一元二次方程根的判别式，它决定方程根的情况： 当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)。 当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根：\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)。 当\(\Delta<0\)时，方程无实数根（因为根号下为负数，无意义）。 注意事项：使用公式法前需先将方程化为一般形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，再计算判别式。 幻灯片 5：公式法的解题步骤 化一般式：将方程化为\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)）的形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。 算判别式：计算\(\Delta=b^2-4ac\)，判断方程是否有实数根。 代公式：若\(\Delta???0\)，将\(a\)、\(b\)、\(\Delta\)代入求根公式\(x=\frac{-b?±\sqrt{\Delta}}{2a}\)。 求根值：计算并化简，得到方程的两个根（若\(\Delta=0\)则为两个相等的根）。 口诀记忆：一化二判三代四解，判别式先看正负零。 幻灯片 6：例题讲解 1（\(\Delta>0\)的情况） 题目呈现：用公式法解方程\(x^2-4x-5=0\)。 解答过程： 步骤 1：化为一般式，得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=-5\)。 步骤 2：计算判别式\(\Delta=(-4)^2-4??1??(-5)=16+20=36>0\)。 步骤 3：代入公式：\(x=\frac{-(-4)?±\sqrt{36}}{2??1}=\frac{4?±6}{2}\)。 步骤 4：求解：\(x_1=\frac{4+6}{2}=5\)，\(x_2=\frac{4-6}{2}=-1\)。 结论：方程的两个根为\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。 幻灯片 7：例题讲解 2（\(\Delta=0\)的情况） 题目呈现：用公式法解方程\(4x^2-4x+1=0\)。 解答过程： 步骤 1：化为一般式，得\(a=4\)，\(b=-4\)，\(c=1\)。 步骤 2：计算判别式\(\Delta=(-4)^2-4??4??1=16-16=0\)。 步骤 3：代入公式：\(x=\frac{-(-4)?±\sqrt{0}}{2??4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)。 步骤 4：结论：方程有两个相等的实数根\(x_1=x_2=\frac{1}{2}\)。 幻灯片 8：例题讲解 3（\(\Delta<0\)的情 ... ...