28.4 垂径定理（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程标题：28.4 垂径定理 副标题：解密圆中直径与弦的垂直关系 教师姓名：[具体姓名] 授课日期：[具体日期] 幻灯片 2：学习目标 理解垂径定理的含义，能准确表述定理内容。 掌握垂径定理的推导过程，明确定理的应用条件。 熟练运用垂径定理及其推论解决与圆相关的计算和证明问题。 体会数形结合思想在解决圆中问题的作用，提升几何推理能力。 幻灯片 3：情境引入 展示图片： 图片 1：圆形拱桥的剖面图，拱高和桥面宽度构成的几何关系。 图片 2：工人师傅用卷尺测量圆形工件的直径，利用了弦和垂线的关系。 提问引导：在这些圆形结构中，直径与弦的垂直关系蕴含着怎样的数学规律？如何利用这种关系解决实际问题中的长度计算？这就是本节课要学习的垂径定理。 幻灯片 4：垂径定理的探索 实验操作：在⊙O 中，画一条弦 AB，再画一条直径 CD，使 CD⊥AB 于点 E，观察点 E 与 AB 的关系，以及⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 的关系。 图示：绘制圆⊙O，弦 AB，直径 CD⊥AB 于 E，标注各点和线段。 观察现象： 弦 AB 被点 E 平分，即 AE = EB。 弧⌒AC 与⌒BC 相等，弧⌒AD 与⌒BD 相等。 提出猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 幻灯片 5：垂径定理的证明 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于点 E。 求证：AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。 证明过程： 连接 OA、OB，OA = OB（同圆半径相等）。 因为 CD⊥AB，所以△OAE 和△OBE 是直角三角形。 在 Rt△OAE 和 Rt△OBE 中，OA = OB，OE = OE，所以 Rt△OAE ≌ Rt△OBE（HL）。 所以 AE = EB（全等三角形对应边相等）。 因为∠AOC = ∠BOC（全等三角形对应角相等），所以⌒AC = ⌒BC（等圆心角对等弧）。 因为∠AOD = ∠BOD（平角定义及等角的补角相等），所以⌒AD = ⌒BD。 结论：垂径定理成立。 幻灯片 6：垂径定理的数学表述 文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：如图，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，∴AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。 图示强调：标注直径、弦、垂直关系及相等的线段和弧，突出定理的条件和结论。 幻灯片 7：垂径定理的推论 推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：“不是直径” 是必要条件，若弦为直径，两条直径互相平分，但不一定垂直。 符号语言：∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（非直径），AE = EB，∴CD⊥AB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。 推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：∵AB 是弦，CD 垂直平分 AB，∴CD 经过圆心 O，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。 推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 符号语言：∵CD 是⊙O 的直径，⌒AC = ⌒BC，∴CD⊥AB，AE = EB，⌒AD = ⌒BD。 幻灯片 8：垂径定理应用示例 1（计算弦长） 例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离 OE 为 3cm，求⊙O 的半径。 解答步骤： 连接 OA，因为 OE⊥AB，根据垂径定理，AE = 1/2 AB = 4cm。 在 Rt△OAE 中，OE = 3cm，AE = 4cm，由勾股定理得 OA = AE + OE = 4 + 3 = 25。 所以 OA = 5cm，即⊙O 的半径为 5cm。 幻灯片 9：垂径定理应用示例 2（计算拱高） 例 2：一座圆弧形拱桥的跨度（弦长）AB 为 12m，拱高（弦心距的反向延长线到弧顶的距离）CD 为 2m，求拱桥所在圆的半径。 解答步骤： 设拱桥所在圆的圆心为 O，半径为 r，连接 OA、OC，OC 交 AB 于 E。 因为 OC⊥AB（垂径定理推论），所以 AE = 1/2 AB = 6m，OE = OC ... ...