21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程标题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师：[教师姓名] 授课班级：[具体班级] 幻灯片 2：学习目标 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 能运用根与系数的关系解决已知方程求两根之和与两根之积等问题。 能根据两根的关系求方程中的参数或构造一元二次方程。 幻灯片 3：知识回顾 一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0（a≠0）。 一元二次方程的求根公式：x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（b - 4ac ≥ 0）。 问题思考：解下列方程，观察方程的根与系数有什么关系？ x - 7x + 12 = 0 ，解为 x = 3，x = 4 。 2x + 4x - 6 = 0 ，解为 x = 1，x = -3 。 幻灯片 4：情景引入 计算观察： 对于方程 x - 7x + 12 = 0 ，x + x = 3 + 4 = 7 ，x x = 3×4 = 12 ，方程中二次项系数为 1，一次项系数为 - 7，常数项为 12 ，发现 x + x = -(-7)，x x = 12 。 对于方程 2x + 4x - 6 = 0 ，x + x = 1 + (-3) = -2 ，x x = 1×(-3) = -3 ，方程中二次项系数为 2，一次项系数为 4，常数项为 - 6 ，发现 x + x = - \(\frac{4}{2}\)，x ·x = \(\frac{-6}{2}\) 。 提出猜想：一元二次方程的根与系数之间是否存在某种特定的关系？ 引出课题：今天我们就来探究一元二次方程的根与系数的关系。 幻灯片 5：根与系数的关系推导 推导过程：对于一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0），当 Δ = b - 4ac ≥ 0 时，方程的两个根为 x = \(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)，x = \(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) 。 计算两根之和：x + x = \(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) + \(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) = \(\frac{-2b}{2a}\) = - \(\frac{b}{a}\) 。 计算两根之积：x x = （\(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)）×（\(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)） = \(\frac{b - (b - 4ac)}{4a }\) = \(\frac{4ac}{4a }\) = \(\frac{c}{a}\) 。 结论：一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的两个根为 x 、x ，则 x + x = - \(\frac{b}{a}\)，x ·x = \(\frac{c}{a}\) ，这个关系也叫做韦达定理。 幻灯片 6：特殊形式的根与系数关系 二次项系数为 1 的情况：对于方程 x + px + q = 0 ，若它的两个根为 x 、x ，则 x + x = -p，x x = q 。 说明：这是根与系数关系的一种常见特殊形式，在解题中应用广泛，此时 p = -(x + x )，q = x x 。 幻灯片 7：根与系数关系的应用（一）——— 已知方程求两根之和与积 例题：已知方程 2x - 5x + 1 = 0 的两个根为 x 、x ，求 x + x 和 x x 的值。 解答过程： 确定方程中 a、b、c 的值：a = 2，b = -5，c = 1 。 根据根与系数的关系：x + x = - \(\frac{b}{a}\) = - \(\frac{-5}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) 。 x ·x = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{1}{2}\) 。 强调要点：准确确定 a、b、c 的值，注意符号的正确性。 幻灯片 8：根与系数关系的应用（二）——— 已知一根求另一根及参数 例题：已知方程 x + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。 解答过程： 设方程的另一个根为 x 。 根据根与系数的关系：2 + x = -k ，2 x = -6 。 由 2 x = -6 ，解得 x = -3 。 将 x = -3 代入 2 + x = -k ，得 2 + (-3) = -k ，即 - 1 = -k ，解得 k = 1 。 所以方程的另一个根是 - 3，k 的值是 1 。 幻灯片 9：根与系数关系的应用（三）——— 构造一元二次方程 例题：已知两个数的和是 5，积是 6，求这两个数。 解答过程： 根据根与系数的关系可知，这两个数是方程 x - 5x + 6 = 0 的两个根。 解方程 x - 5x + 6 = 0 ，因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0 ，解得 x = 2，x = 3 。 所以 ... ...