压轴题10 向量综合 1.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算. 2、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角. 说明：①当时，与同向； ②当时，与反向； ③当时，与垂直，记； ④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为. 3、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有(). 规定与任何向量的数量积为. 说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别： (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)，. (4)在实数中，若，且，则， 但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中. (5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出， 如图：， ，但. (6)在实数中有，但是在向量中， 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 4、向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 5、向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积. 6.线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 压轴题型一：压轴思维：等和线 √满分技法 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据动点满足的条件，得到其轨迹方程，再利用点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】设点，由及，得， 即，又，消去得， 的最小值即为点到直线的距离， 由已知得，而，故的最小值为. 故选：C. 2．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 3．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，解得， 因为，所以；如图所示，设，延长交于点， 则，所以，同理可得， 过点作，则 又由，所以,所以，可得，即，因为为的外心，设的内切圆的半径为，可得，可得，即，又因为，即，可得， 由正弦定理得,又因为，可得，因为且，所以，可得，所以，可得，.故选：D. 5．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（ ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得，所以，故选：A． 压轴题型二：压轴思维：建系与三角换元 √满分技法 如果点在圆上运动，则可以借 ... ...
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