压轴题17 圆锥曲线压轴小题归类 综述 曲线与方程 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法． （1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． （2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线． （3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 求解过程： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点 （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示， （5）检验：对某些特殊值应另外补充检验． 二、离心率 求离心率是椭圆，双曲线中的重要题型， 解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有： （1）根据条件求得，利用或求解； （2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围． 三、圆锥曲线性质与结论 1.椭圆结论： (1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ； ②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a； ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 图1 (2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2； ②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)； ③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－. (3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系： 图2 ①点P在椭圆内 ＋<1. ②点P在椭圆上 ＋＝1. ③点P在椭圆外 ＋>1. (4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 2．双曲线结论： (1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a； ②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b； (2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得； 图3 3．抛物线结论： 如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角) ③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 压轴题型一：轨迹： √满分技法 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法. 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行。 1．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 【答案】/ 【分析】考虑的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积为得到为的切线，考虑的斜率不存在时，也满足要求，利用椭圆定义和几何性质得到最小值，即定值. 【详解】当的斜率存在时，设为， 与联立得， 设，则， 则由题意得，化简得，① 因为x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，所以直线为某一个椭圆的一条切线，联立与， ... ...
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