压轴题09 解三角形 正弦定理 正弦定理主要特色：边角互化。通过正弦定理实现“边化角”或“角化边”，结合三角恒等变换简化计算。 正弦定理：（为外接圆半径），用于已知两角及一边或两边及一角求其他元素。 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k， 由此可得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. 2.余弦定理：，用于已知三边求角或两边及其夹角求第三边。 (1)余弦定理及其推论的表示 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC. 3.三角形面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 4.三角形性质 大边对大角： 内角和定理：，推导，。 5.解的个数判断 已知两边及其中一边对角（SSA）时，可能有两解、一解或无解。 判断方法： 设已知边为，对角为，若，则无解； 若，则一解； 若，则需比较与的大小进一步判断。 压轴题型一：判断三角形形状 √满分技法 正余弦定理：化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 正余弦定理：化边为角型 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边” 1．设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为 A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 5．如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是 A．与都是锐角三角形 B．与都是钝角三角形 C．是锐角三角形且是钝角三角形 D．是钝角三角形且是锐角三角形 压轴题型二： 判断三角形几解 √满分技法 判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（ ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 2．已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（ ） A．7 B． C．9 D．10 3．在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值， ... ...
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