8.2.2 函数的实际应用 课件（ 20页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学必修第一册

8.2.2 函数的实际应用 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题. 函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．当面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？ 三种已知的 函数模型 例1 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析：提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ： 第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5； 第二，奖金不超过利润的25％，即y≤0.25x．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果． 类型1：利用已知模型解决实际问题 解：借助信息技术画出函数y=5，y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象． 观察图象发现，在区间[10，1000]上 ， 模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方 ， 只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方 ， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ． 下面通过计算确认上述判断 ． 先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 ． 对于模型y=0.25x， 它在区间[10，1000]上单调递增 ， 而且当x=20时，y=5， 因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求 ； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用信息 技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满 足1.002x0=5，由于它在区间[10，1000]上单调 递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不 符合要求 ； 对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜5 ， 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 ． 再计算按模型y=log7x+1奖励时， 奖金是否不超过利润的25％ ，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x， 即y=log7x+1≤0.25x成立 ． 令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1000]， 利用信息技术画出它的图象. 由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减， 因此f(x)≤f(10)≈－0.3167<0，即y=log7x+1≤0.25x． 所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y=log7x+1奖励 ，奖金不会超过利润的25％． 综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求 ． 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ ①问题中涉及哪些数量关系？ ②如何用函数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额 日回报 累计回报 类型2：建立合适的函数解决实际问题 40 40 40 40 40 10 10+10 =10×2 10+10+10 =10×3 10+10+10+10 =10×4 10+10+10+10+10 =10×5 0.4 0.4×2 0.4×2×2 =0.4×22 0.4×2×2×2 =0.4×23 0.4×2×2×2×2 =0.4×24 方案一 方案二 方案三 1 2 3 4 5 则方案一可以用函数_____进行描述； 方案二可以用函数_____进行描述； 方案三可以用函数_____进行描述. 设第x天的回报是y元， y=40 (x∈N*) y=10x (x∈N*) y=0.4×2x-1 (x∈N*) 三种方案每天回报表 0 x y 20 40 60 80 100 120 140 4 2 6 8 10 12 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30 方案 ... ...