8.1.2 用二分法求方程的近似解 课件（ 16页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学必修第一册

8.1.2 用二分法 求方程的近似解 1.通过求具体方程的近似解了解二分法. 2.根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解. 问题1：受台风影响，某地出现了暴雨并伴有大风天气，造成了一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？ 设出现故障线路的起点和终点分别为A、B， A B 取中点 这种解决问题的方法就是运用了“二分法”的思想. 解：y=lnx+2x-6=0，可以等价变形为lnx= -2x+6， 在同一直角坐标系内作出函数y=lnx和y=-2x+6的图象. y=lnx y=-2x+6 问题2：结合上节课所学，对于函数f(x)=lnx+2x-6，如何快速判断它是否有零点以及零点所在的区间呢？ 数形结合法 在(2，3)内一定有零点 想一想：函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个零点的值究竟是多少？ 是否可以通过“二分法”的思想求出它的近似值呢？ 对于一个函数，已知零点所在区间[a，b]，取其中点 c ，计算f(c)， ①如果f(c)=0，那么 c 就是函数的零点； ②如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可由零点存在性定理判断零点是在（a，c)内，还是在（c，b)内， 从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行…… 当零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为零点的近似值。为了方便，常把区间的一个端点作为零点的近似值. “二分法”的思想： f(x)=lnx+2x-6 ∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2，3) 2.5 ∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5，3) 2.75 ∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5，2.75) 2.5 2.5 2.75 2.625 2.5 2.625 …… ∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5，2.625) ∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5，2.5625) x0∈(2，3) 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法． 注意：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． 二分法的概念 要点提炼 练1.下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( ) ABC 练2.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 D 练一练 例1 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1). 解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 ①观察函数图象和上表，f(1)·f(2)<0，可知零点在(1，2)内， ②取区间(1，2)的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33， ∵f(1)·f(1.5)<0，∴x0 ∈(1，1.5)， ③取区间(1，1.5)的中点x2=1.25 ，f(1.25)≈-0.87， ∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴x0∈(1.25，1.5)， ④同理可得x0∈(1.375，1.5)， ⑤同理可得x0∈(1.375，1.437 5)， 由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，满足精确度 所以，原方程的近似解可取区间端点值为1.437 5. 例1 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1). 归纳总结 二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤： (1) 确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2) 求区间(a，b)的中点c； (3) 计算f(c) ； 若f(c)=0，则c就是函数的零点c ； 若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))； 若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))； (4) 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)， 否则重复(2) (3) (4) ； 练3. 利用计算器，求方程 sinx=1- x的近似解.（精确到0.1） 解：画出 y=sin x 及 y=1 -x 的图象， 观察图象得，方程 sinx=1- x有唯一解， 记为x，且这个 ... ...