初中数学华东师大版（2024）八年级上册10.1 平方根和立方根 举一反三(原卷版+答案版)

10.1平方根和立方根 【题型1】平方根的定义 4 【题型2】平方根的性质 4 【题型3】利用平方根求未知数的值 5 【题型4】算术平方根的定义 5 【题型5】算术平方根有意义的条件 6 【题型6】算术平方根的非负性 6 【题型7】算术平方根的应用 7 【题型8】利用计算器开平方 7 【题型9】立方根的定义与性质 9 【题型10】立方根与平方根的综合 9 【题型11】利用立方根求未知数的值 10 【题型12】立方根的实际应用 10 【题型13】利用计算器开立方 12 【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 谷城县期末）4的平方根是（　　） A．±2B．C．2D．-2 【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春 海伦市期末）25的平方根是（　　） A．5B．-5C．5或-5D． 2.（2025春 张店区期末）等于（　　） A．±3B．3C．±6D．6 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2025 广东校级模拟）若（a-1）2+=0，则（a-b）2022=（　　） A．1B．-1C．0D．2022 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2024秋 东台市期末）下列说法中，错误的是（　　） A．0的平方根是0B．1的立方根是1C．的平方根是±4D．2是4的算术平方根 2.（2024秋 叶县期末）下列说法正确的是（　　） A．-27的立方根是3B．=±4C．1的平方根是1D．4的算术平方根是2 【知识点5】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024 镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　） A．B．C．D． 2.（2024 烟台一模）用计算 ... ...