13.2勾股定理的应用 【题型1】网格问题 2 【题型2】求高度或距离 4 【题型3】水杯中的筷子问题 6 【题型4】最短路径问题 8 【题型5】利用逆定理解决面积问题 10 【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 11 【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春 昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩=240平方步） A．2B．3C．4D．5 2.（2024春 望花区期中）如图，玻璃杯的底面半径为4cm,高为6cm,有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ） A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm 【题型1】网格问题 【典型例题】象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ） A.5 B. C. D. 【举一反三1】如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”) 【举一反三3】如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)图中线段的长度是 ，的长度是 ； (2)在图中画出线段，使得的长为 (3)以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由． 甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程． 甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．” 解：是直角三角形，理由如下： 在网格中由勾股定理可以算出：，，， _____，_____， _____． _____． 是角三角形． 乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．” 解：是直角三角形，理由如下： 如图，由网格可知：，，， 在和中， （_____） _____． 又在中，， _____， ， 是直角三角形． 【题型2】求高度或距离 【典型例题】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ） A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 【举一反三1】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在 ... ...
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