(课件网) 人教版九上 数学 同步课件 1.了解正多边形的有关概念及正多边形与圆的关系. 2. 会应用正多边形和圆的有关知识进行相关计算并解决实际问题. 3. 掌握正多边形的画法: 一是量角器等分圆周；二是用尺规作图等分圆周. 我们知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案. 你还能举出一些这样的例子吗？ 探究 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 接下来，我们就一起以圆内接正五边形为例证明. 如图，把 ⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE . (1) 填空： ∵ ， ∴____=____=____=____=____， ∴ =___ =_____， ∴∠A_____∠B； AB BC CD DE EA ＝ 3 · A O E D C B · A O E D C B 由上述过程可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E， 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆. 如图，把 ⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE . (2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由. 1. 正多边形的外接圆的圆心，叫做正多边形的中心. 2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心角度数为 4. 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距. 归纳总结 例1 如图，有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 ( 结果保留小数点后一位 ). C D O E F A 抽象成 B 解：如图，连接OB、OC，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此，亭子地基的周长 l=6×4=24(m). 作 OP⊥BC ，垂足为 P，在 Rt△OPC 中， OC=4m， ，利用勾股定理， 可得边心距 亭子地基的面积 O 4 m A B C D E F P r 变式 如图，⊙O的半径为 ，⊙O内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积. 解：连接OB， ∵在Rt△AOC中，AC= ， ∴AC=OC，∴∠AOC=∠OAC=45°， ∵OA=OB，OC⊥AB， ∴AB=2AC=2，∠AOB=2∠AOC=90°， ∴这个圆内接正多边形是正方形. ∴面积为22=4，∴中心角为90°，边长为2，面积为4. 思考 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正n边形 中心角 A B C D E F O 半径r 边心距r 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 归纳总结 2.作边心距，构造直角三角形. 1.连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 圆内接正多边形的辅助线 归纳总结 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关. 要制造如图中的零件，也需要等分圆周. 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 我们以作一个边长为1.5 cm的正六边形来举例. 利用这种方法，可以画出任意的正n边形. O 60° 作法： 1. 以1.5 cm为半径作一个⊙O； 2. 用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧； 3. 在圆上依次截取与这条弧相等的弧， 得到圆的6个等分点； 4. 顺次连接各分点，即可得到正六边形. 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作. 例如，我们也可以这样来作正六边形. O R 作法： 1. 任意作出圆的一条半径R交⊙O于点A； 2. 以点A为圆心，R为半径画弧，交⊙O于点B； ... ...
