(
课件网) 2.4.2 圆的一般方程 第二章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①理解圆的一般方程及其特点． ②掌握圆的一般方程和标准方程的互化． ③会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 学习重难点 重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程． 难点： 与圆有关的简单的轨迹方程问题． 课堂导入 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0. 可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式. 情境 请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆 下面我们来探讨这一方面的问题. 课堂探究 思考1.类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？说出圆 (x－1)2 + (y+2)2 = 4的圆心坐标、半径并展开该方程. 答:圆心坐标为(1,-2)；半径为2； 圆的标准方程展开式为：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. 探究 圆的一般方程 确定圆的几何要素：圆心、半径 圆的标准方程 圆的一般式方程？ 课堂探究 探究 圆的一般方程 反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为(x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1; 因为任意一个点的坐标 (x, y) 都不满足上述方程,即这个方程不表示任何图形;所以形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定通过恒等变形变为圆的标准方程. 思考2：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程一定能通过恒等变形为圆的标准方程吗？ 总结：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 方程不一定是圆的方程. 课堂探究 将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得： （1）当D2 + E2 – 4F > 0时,表示以 (，) 为圆心为半径的圆； （2）当D2 + E2 – 4F = 0时,只有实数解 x = y = 它表示一个点 ()； （3）当D2 + E2 – 4F < 0时,没有实数解，它不表示任何图形. 思考3:方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D， E， F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 探究 圆的一般方程 课堂探究 定义：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0） 注：（1） x2 与 y2 系数相同并且不等于0； （2）圆心：(，)，半径：. 归纳新知 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 课堂探究 【例题1】 解析 (方法1) 由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 因此,当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=|m-2|. 课堂探究 【例题1】 解析 (方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2 因此,当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆, 此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=|m-2|. 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 课堂探究 归纳新知 小结 二元二次方程表示圆的判断方法: (1)计算D2+E2-4F的值 ① 若其值为正，则表示圆； ② 若其值为0，则表示一个点； ③ 若其值为负，则不表示任何图形； (2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断. 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程. 课堂探究 【例题2】 解析 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,① 3D+4E+F=-25.② 令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则 x1+ x2=-D, x1·x2=F. ∵| x1- x2|=6,∴(x1+ x2)2-4 x1·x2=36, 即D2-4F=36.③ 由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7. 故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0. 课堂探究 归纳新知 小结 圆的方程的求法 求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b ... ...
