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课件网) 专题二 函数综合 1．以近几年函数综合题为训练背景，让学生感受中考函数题的考查难度． 2．通过解题归纳考查的知识和方法，了解命题者的设问方式． 1．(2022·贵阳)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b. (1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)； (2)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f )四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由； (3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的表达式． 解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x2＋4x＋4－4)＋b＝a(x＋2)2＋b－4a， ∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，b－4a)． (2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2， 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)， ∴d＞c＞e＝f. 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)， ∴d＜c＜e＝f. 解：(1)∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA，AB⊥OA． ∵D(4,1)是AB的中点，∴B(4,2)． ∴点E的纵坐标为2. 3.(2025·山西)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm. 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式． 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． (2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长． (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)． (2)∵抛物线的形状不变，P(0,75)，故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， 4.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式． (3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． (1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)， ∴5＝－4＋c，解得c＝9. ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋9. (2)证明：当y＝0时，0＝－x2＋9，解得x1＝－3，x2＝3. ∴B(3,0)． 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，B(5,0)，且过点C(－1，6)． (1)求抛物线的解析式． (2)若直线y1与抛物线交于点M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且当m≤x≤n时，y的最小值为2m，最大值为4n.当y1＜y时，求x的取值范围． (3) ... ...
