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课件网) 4.5 相似三角形判定定理的证明 1.理解并掌握相似三角形判定定理的证明. 2.能综合利用相似三角形的判断定理判定两个三角形相似并解决问题. 判定两个三角形相似的方法有哪些？ 你能对它们进行证明吗？ 已知：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. A B C C′ A′ B′ 图1 则∠ADE=∠B， ∠AED=∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例） A B C 图1 D E 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， C′ A′ B′ A B C 图1 D E 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则 （平行于三角形一边的直线与 其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴ . ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴ ∴ 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. F C′ A′ B′ 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， . 求证： △ABC∽△A′B′C′. C′ A B C A′ B′ D E 图2 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′， 过D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B， ∠AED=∠C， C′ A B C A′ B′ 图2 D E A B C A′ B′ C′ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 几何语言： 你能证明吗？ 可要仔细哟！ ∵∠A =∠A′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′ A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE， ∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE， ∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） A B C A′ B′ C′ D E 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 例 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端点在CB，CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似？ 典例精析 解： ． 当△AED∽△CMN时，AE∶CM=DE∶NM，即1∶ ∶1，解得 ． 当△AED∽△CNM时，AD∶CM=DE∶MN，即2∶ ∶1，解得 ． ∴当 或 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 典例精析 课堂练习 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） B 课堂练习 2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1．若 △E1FA1∽△E1BF，则AD=_____． 3.2 1. 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 上一点，连接 CE 并延长，交 BA 的延 长线于点 F . 已知 ＝ ， AD ＝6，则 FB 的长为( C ) A. 6 B. 12 C. 9 D. 4.5 第1题图 C 2. 如图， D 是△ ABC 内一点，点 E 在线段 BD 的延长线上， BE 与 AC 交 于点 O ，分别连接 AD ， AE ， CE ，如果 ＝ ＝ ，那么下列结论 正确的是( D ) A. CE ∥ AD B. BD ＝ AD C. ∠ ABE ＝∠ CBE D. BO · AE ＝ AO · BC 第2题图 D 2.如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，A ... ...
