2025-2026学年北京市海淀区高三上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，共50分。 1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( ) A. B. C. D. 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则( ) A. B. C. D. 4.设，且，则( ) A. B. C. D. 5.函数( ) A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( ) A. 是偶函数 B. C. 是奇函数 D. 7.函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 8.已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则( ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10.已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是( ) A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 二、填空题：本大题共5小题，共25分。 11.函数的定义域是 ． 12.已知等差数列中，，且，则的公差 ． 13.若向量，，则 ； ． 14.设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为 ，的最小值为 ． 15.某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为米，甲从圆心出发，沿以每秒米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论： 当时，； 函数在区间上单调递增； 方程在区间上恰有一个根； 若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知函数． 求函数的单调递增区间； 若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 17.已知数列的前项和为，且． 求的值； 求的通项公式； 若的各项都为正数，记，求． 18.已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求： 曲线在点处的切线方程； 函数的单调区间． 条件：； 条件：； 条件：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19.某城市公园计划将园内三角形区域如图建造为多功能区，其中米，米，． 求的长度； 公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的智慧步道，其每米造价分别为万元，万元，万元．记，三段智慧步道的造价总和记为单位：万元． 将表示为的函数； 若不超过万元，求的最大值．只需写出结论． 20.已知函数有两个极值点记，． 若点在直线上，求的值； 若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围． 21.给定正整数，已知是一个行列的数表，其中若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质： 对任意，有； 对任意，且，有； 对任意，有． 判断数表是否具有性质，并说明理由； 若数表具有性质，求的最小值； 若数表具有性质，记，求的最大值表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.因为， 所以， 令， 解得． 因为是函数的一个零点， 所以，而，则， 可得，解得， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得， 因为，所以令，得到， 故． 17.对于，令， 可得，解得或． 当时，，此时， 则， 当时，则，可得， 得到，即， 则，化简得， 可得是以为首项，为公比的 ... ...
