湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第3次阶段性检测数学试卷（含答案）

湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第3次阶段性检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，为虚数单位，则( ) A. B. C. D. 3.曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.二项式的展开式中常数项为( ) A. B. C. D. 5.如图，在中，点是的中点，，则( ) A. B. C. D. 6.设函数，数列满足，且数列是递增数列，则的范围是( ) A. B. C. D. 7.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为为常数，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为；当时，学习率为，则学习率衰减到以下所需的训练迭代轮数至少为 已知 A. B. C. D. 8.已知函数，若关于的方程有且仅有个不同的实数根，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为古典概型样本空间中的两个随机事件，其中，则下列选项正确的是( ) A. 事件与互斥 B. C. 事件与独立 D. 10.已知函数，则下列结论正确的是( ) A. 函数是偶函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间存在最小值 D. 方程在区间内所有根的和为 11.如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着向上翻折，使点到点处，得到四棱锥，则( ) A. 四棱锥体积的最大值为 B. 不存在点使得平面平面 C. 中点的运动轨迹长度为 D. 当平面平面时，四棱锥外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的图像在点处的切线方程为 ． 13.已知平面向量满足，则的最大值是 ． 14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则维空间“立方体”的顶点数为 ；若在维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角的对边分别为，已知． 证明：； 记的中点为，若，且，求的周长． 16.本小题分 如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为． 求证：平面； 求二面角的余弦值． 17.本小题分 已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列． 求； 设是数列的前项和，求； 设，是的前项的积，求证：时，． 18.本小题分 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； 为验证抽球试验成功的概率不超过，有名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 求关于的回归方程，并预测成功的总人数精确到； 证明：． 附：经验回归方程系数：，； 参考数据：，，其中， 19.本小题分 已知双曲线的离心率为，虚轴长为． 求的标准方程； 若与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点当点运动时，点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 过点的直线与曲线交于两点，且点分别位于轴两侧，设在点处的切线交于点，求面积的最小值． 附：双曲线上任一点处的切线方程为；椭圆上 ... ...