上海市莘庄中学2026届高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

上海市莘庄中学2026届高三上学期10月月考 数学试卷 一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。 1.设，则“”是“”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为( ) A. 自然数不都是偶数 B. 自然数都不是奇数 C. 自然数都是奇数 D. 自然数至少有一个是偶数 3.设函数是定义在上的奇函数，满足当时，，则下列结论中正确的是( ) A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间单调递减 C. 当时，有个零点 D. 函数的图象关于点对称 4.若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记下列命题中正确的是( ) A. 已知，且，则 B. 已知，若，则对任意，都有 C. 已知，，则存在实数，使得 D. 已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。 5.化简 其中 6.函数的定义域是 ． 7.已知、为实数，且函数，是偶函数，则 ． 8.已知集合，，则 ． 9.若正数满足，则的最小值为 ． 10.设，则方程的解集为 ． 11.已知幂函数的图象过点，则的解集为 ． 12.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 13.函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 ． 14.已知为常数，函数在区间上的最大值为，则 ． 15.已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 ． 16.设函数，集合，则下列命题正确的有 ． 当时，集合； 当时，； 当，则的取值范围是； 若其中，则． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知全集为，集合，集合． 求； 若集合，且，求实数的取值范围． 18.本小题分 对于函数与，记集合． 设，求集合； 设，若，求实数的取值范围． 19.本小题分 某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完． 求销售利润万元关于产量万箱的函数关系式； 当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 20.本小题分 已知函数． 证明：； 求不等式：的解集； 若函数的图象在区间上与轴有个交点，求实数的取值范围． 21.本小题分 设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质：对于任意，都有；性质：对于任意，都有． 已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； 已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； 已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.或 15. 16. 17.【详解】由 解得，即． 由或，解得或，即或． 所以或． 由得或，则． 由，可得，又， 所以，解得． 即的取值范围是． 18.当得； 当 ． ， 即不等式在恒成立 时，恒成立， 在时最大值为， 故 19.【详解】由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， ． 当产量不小于万箱，即时， ． 综上可得． 设 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减． 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号． 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元． 20.【详解】． 因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解 ... ...