2025-2026学年江苏省无锡市新吴区第三高级中学高二上学期10月阶段测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点关于平面对称的点是 ． A. B. C. D. 2.如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于( ) A. B. C. D. 3.已知空间向量与共线，则( ) A. B. C. D. 4.若直线与直线平行，则( ) A. B. 或 C. D. 5.若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值( ) A. B. C. D. 7.如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则下列命题错误的个数为( ) 侧棱与底面所成角的余弦值为 直线与所成角的正弦值为 A. B. C. D. 8.已知为直线的一个方向向量，点，则点到直线的距离为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 10.关于空间向量，以下说法正确的是( ) A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 11.如图，在棱长为的正方体中，且点满足，则下列说法正确的是( ) A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则等于 13.向量与的夹角是 ． 14.在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间向量． 求在上的投影向量； 若，求； 若，求的值． 16.本小题分 直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是， 设直线的斜率为，试求点和点的坐标用表示； 试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标． 17.本小题分 如图，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱，、分别是、延长线上的点，且，． 求平面与平面的夹角的正弦值； 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 18.本小题分 图是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图所示． 求证：； 棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 19.本小题分 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点不含端点． 证明：平面； 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． (ⅰ)求三棱锥的体积； (ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.由投影向量的定义， 在上的投影向量为． 若，则，所以， 所以 若，则，所以，进而． 16.因为为直角三角形，斜边在轴上，点在点的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线的斜率为，点的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， 由点的坐标为，点的坐标为，又点在点的左侧， 所以，所以， 所以，又点的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形的面积最小，最小值为，此时点的坐标为． 17.因为四棱柱为正四棱柱，所以底面，又因为， 所以以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 易知平面的一个法向量 ... ...
