2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题六、不等式（1）（适中版） 一、单选题 1．对于正整数，设是最接近的整数，则（ ） A． B． C． D． 2．若实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 4．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序数对共有（ ）． A．17个 B．64个 C．72个 D．81个 5．若不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（ ）． A．100 B．112 C．120 D．150 7．设，且，则满足此等式的不同整数对有（ ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知点，，在抛物线上，且，则m的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．已知实数x，y满足且，则的最大值是 ，最小值是 ． 10．设a，b为正整数，且则b取最小值时 11．已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 ． 12．若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ． 13．无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 14．若化简的结果为，则满足条件是x的取值范围是 ． 三、解答题 15．设正数a，b，c，x，y，x满足，证明； ． 16．已知，证明： 中至少有一个不大于． 17．求满足下列条件的最小正整数n，使得对这样的n，有唯一的正整数k，满足． 18．证明：对任意实数x及任意正整数n有． 19．解不等式： ． 20．解不等式 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题六、不等式（1）（适中版） 一、单选题 1．对于正整数，设是最接近的整数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意自然数．不是整数，所以，对于正整数．一点不是整数． 设是最接近的整数，则，． 已知：当时，． 于是可知：对确定的正整数，当正整数满足时，是最接近的整数， 即，所以，使得的正整数的个数为． 注意到．因此，，…，中，有：2个1，4个2，6个3，8个4，……，26个13，18个14． 所以． 2．若实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解答本题的关键． 根据由，，，当且仅当，，时，取等号，得出，根据已知条件，求得，由此得到答案． 【详解】解：由， ， ， 将三式分别相加，得到 ， 当且仅当，，时，取等号， 又， 时，取等号， ， 的最大值为：． 故选：． 3．已知，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值不等式，根据绝对值不等式，将原式化为，当且仅当时取等号，再由计算出，即可得解，熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：， 当且仅当时取等号， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 4．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序数对共有（ ）． A．17个 B．64个 C．72个 D．81个 【答案】C 【详解】解 因中x的整数值仅为1，2，3，所以即， ，故a可取1，2，…，9这9个值，b可取25，26，…．32这8个值，所以有序对 有个．故选C． 5．若不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解 由得，且已知，所以，． 又不等式的整数解是1，2，3，4，所以，且解得 且，故，所以选C． 6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（ ）． A．100 B．112 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由已知不等式得．因由已知条件，与之间只有 唯一一个整数k，所以解得．当时，，存在唯一，所以n的 最大值为112．故应选B． 7．设，且，则满足此等式的不同整数对有（ ）对． A．1 B．2 C ... ...
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