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课件网) 1.3正方形的性质与判定 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 回顾：什么是正方形？正方形有哪些性质？ 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分； ④既是中心对称图形也是轴对称图形. 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 证一证 证明：（2） 已知：如图，四边形ABCD是矩形，且AB=AD． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°． 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 探究新知 （3）已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，且AC⊥BD． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OD=OB，∠DAB=90° 又∵AC⊥BD，OA=OA ∴∠DOA=∠BOA=90° ∴△ABD≌△BAC（SAS） ∴AD=AB ∴四边形ABCD是正方形． 探究新知 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明. 答：正方形. 可以证明中点四边形的四边相等，角为直角． 探究新知 议一议： （1）以菱形或矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 探究新知 2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上 一点，连接 BF，DF。你能找出图中的全等三角 形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD， ∴AD = AB，∠DAF =∠BAF， 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 例1 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, 又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC =∠ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . ... ...
