第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1讲 两个计数原理、排列与组合 课标要求 考情分析 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.通过实例，理解排列、组合的概念. 3.能利用两个计数原理推导排列数公式、组合数公式. 4.能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度中档. 常考内容 排列与组合的简单应用. 创新考法 排列、组合与统计概率交汇命题. 必备知识 自主排查 理一理 1．两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有①_ _ _ _ _ _ _ _ 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有②_ _ _ _ _ _ 种不同的方法. 【答案】； 提醒 分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.分步乘法计数原理中,完成一件事需分步完成，各个步骤相互依存,步与步之间相互独立. 2．排列与组合 （1）排列与组合的概念 类别 定义 排列 一般地，从个不同元素中取出个元素 并按照③_ _ _ _ _ _ _ _ 排成一列 组合 ④_ _ _ _ _ _ _ _ （2）排列数、组合数的定义、公式、性质 类别 排列数 组合数 定义 从个不同元素中取出个元素的所有⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 的个数 从个不同元素中取出个元素的所有⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 的个数 公式 性质 ⑦_ _ _ _ _ _ , ⑧_ _ _ _ _ _ ,,⑨_ _ _ _ _ _ , ⑩_ _ _ _ 【答案】一定的顺序； 作为一组； 不同排列； 不同组合； ； ； ； 练一练 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（ ） （2） 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（ ） （3） 从一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.（ ） （4） 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） × （4） √ 2．（选择性必修第三册P25T2改编）若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】选.由题得，，即，解得. 3．（选择性必修第三册P11练习T3改编）已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】选.将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，则不同的走法种数为. 4．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有_ _ _ _ 种. 【答案】6 【解析】5个相同的小球排成一行，中间出现了4个空，在4个空中任选2个插入挡板，就可将5个相同小球分成有序的3份，可得不同的分法有（种）. 5．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有种. 【答案】36 【解析】第一步，先从4名学生中任选2人组成一组，与剩下2人分成三组，有 种不同的分法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有 种不同的分法.故共有 种不同的安排方案. 核心考点 师生共研 考点一 两个计数原理 ［例1］ （1） 已知集合，，，1，，其中，，2，3， ，，且.把满足上述条件的一对有序整数对作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ） A. 9 B. 14 C. 15 D. 21 （2） [2024· 新课标Ⅱ卷]在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法.在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_ _ ． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】（1） B （2） 24；112 【解析】 （1） 当 时，且，点的个数 ... ...
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