湛江第一中学2024~2025学年度第二学期期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2．考生作答时，请将答案填在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若“”是假命题,则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 3．已知变量之间具有线性相关关系,根据5对样本数据求得经验回归方程为，若 ，，则＝（ ） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 4．若数列的满足，，则数列的前15项和为（ ） A．105 B．119 C．135 D．152 5．在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为 A． B． C． D． 6．一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列，是其前项积，，若函数的导数为，则（ ） A．2 B．4 C． D． 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．的最小值为3 10．若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 11．函数，则下列结论正确的是( ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则所以 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知是定义在区间[－3,3]上的减函数，且，则的取值范围是 ． 13．有42个白球和14个红球，现根据颜色按比例分层随机抽样，独取8个球放进一个袋子里，每次从袋子中摸出一个球，直到红球破全部取出，则摸球次数为4的慨率是 . 14．若函数与轴的正半轴只有一个交点,则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 16．(15分) 如图，已知四棱锥，PC⊥底而ABCD，圆O为底而ABCD的外接圆，AC是直径，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线AD与平面PAB所成的角的正弦值． 17．(15分) 已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值。且. 18．（17分） 为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验,能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽球，里面有2个白球和2个红球(大小、材质相同)，抽到红球，学生就需要跑步1km，抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放人一个红球，直至箱子里全部都是红球后结束，记天后任务结束的概率为。求. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（17分） 拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一 ... ...
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