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课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.3 确定二次函数的表达式 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：展示三种表达式形式（一般式、顶点式、交点式）对应的抛物线示意图，标注关键条件（如顶点、与 x 轴交点、任意三点） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：掌握根据 “已知顶点与一点”“已知与 x 轴交点及一点”“已知任意三点” 三种条件，分别选择顶点式、交点式、一般式求二次函数表达式的方法。 能力目标：能根据题目给出的条件，灵活选择最优表达式形式，提升代数运算与问题分析能力，熟练求解二次函数解析式。 素养目标：体会 “数形结合” 与 “方程思想” 在求函数表达式中的应用，培养逻辑推理与灵活应变能力，为二次函数的综合应用奠定基础。 第 3 页：回顾衔接 二次函数的三种表达式形式 三种核心表达式： 一般式：y = ax + bx + c（a≠0），适用于已知函数图象上任意三点的情况（需列三元一次方程组求解 a、b、c）。 顶点式：y = a (x - h) + k（a≠0），适用于已知函数顶点坐标 (h,k) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。 交点式（两根式）：y = a (x - x )(x - x )（a≠0），适用于已知函数图象与 x 轴两个交点坐标 (x ,0)、(x ,0) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。 思考：已知二次函数的顶点为 (2,3)，且过点 (1,5)，应选择哪种表达式求解析式更简便？若已知函数过 (0,2)、(1,3)、(2,6) 三点，又该选哪种形式？ 第 4 页：类型一 已知顶点与一点，用顶点式求表达式 适用条件：明确给出顶点坐标 (h,k)，且已知图象上另一个任意点的坐标。 解题步骤： 设二次函数的顶点式为 y = a (x - h) + k（将已知顶点 (h,k) 代入，表达式中仅 a 为未知量）； 将已知的另一个点的坐标 (x ,y ) 代入顶点式，得到关于 a 的一元一次方程； 解方程求出 a 的值； 将 a 的值代入顶点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式）。 例题：已知二次函数的顶点为 (1,-2)，且图象过点 (3,2)，求该函数的表达式。 解答： 设顶点式为 y = a (x - 1) - 2（h=1，k=-2）； 代入 (3,2)：2 = a (3 - 1) - 2 → 2 = 4a - 2； 解方程：4a = 4 → a=1； 表达式为 y = (x - 1) - 2，整理为一般式：y = x - 2x - 1。 小结：顶点式需先定 “顶点”，再用 “一点” 求 a，计算量最小，优先选择。 第 5 页：类型二 已知与 x 轴交点及一点，用交点式求表达式 适用条件：明确给出函数图象与 x 轴的两个交点坐标 (x ,0)、(x ,0)，且已知图象上另一个任意点的坐标。 解题步骤： 设二次函数的交点式为 y = a (x - x )(x - x )（将已知交点 x 、x 代入，表达式中仅 a 为未知量）； 将已知的另一个点的坐标 (x ,y ) 代入交点式，得到关于 a 的一元一次方程； 解方程求出 a 的值； 将 a 的值代入交点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式或顶点式）。 例题：已知二次函数的图象与 x 轴交于 (2,0) 和 (4,0)，且过点 (1,3)，求该函数的表达式。 解答： 设交点式为 y = a (x - 2)(x - 4)（x =2，x =4）； 代入 (1,3)：3 = a (1 - 2)(1 - 4) → 3 = a (-1)(-3) → 3 = 3a； 解方程：a=1； 表达式为 y = (x - 2)(x - 4)，整理为一般式：y = x - 6x + 8。 注意：若交点坐标为 (-m,0)，则交点式中写为 (x + m)（如交点 (-1,0)，对应 (x + 1)）。 第 6 页：类型三 已知任意三点，用一般式求表达式 适用条件：已知函数图象上三个不共线的任意点的坐标（无顶点、无交点信息）。 解题步骤： 设二次函数的一般式为 y = ax + bx + c（a≠0）； 将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组； 解三元一次方程组，求出 a、b、c 的值； 将 a、b、c 的值代入 ... ...
