2.4.2利用二次函数求最大利润问题 课件(共34张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.4.2 利用二次函数求最大利润问题 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧展示 “售价与利润关系” 的抛物线示意图（标注 “顶点即最大利润点”），右侧列出核心公式 “利润 = 总售价 - 总成本”，直观关联经济问题与二次函数 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：掌握 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 的核心公式，能根据实际销售场景建立利润与自变量的二次函数模型，熟练利用顶点性质求最大利润，明确自变量取值范围的实际约束。 能力目标：通过分析售价、成本、销量的数量关系，提升数学建模能力；能结合函数增减性与自变量范围判断最值，强化代数运算与实际问题的结合能力。 素养目标：体会 “经济问题 — 函数模型 — 优化决策” 的转化逻辑，深化函数思想与建模思想，培养用数学知识解决实际经济优化问题的意识。 第 3 页：回顾衔接 从面积最值到利润最值 知识回顾： 二次函数最值核心：当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，可通过顶点式或公式法求解。 建模关键步骤：设变量→列关系式→定范围→求最值，且自变量取值范围直接影响最值有效性。 利润核心公式： 基本关系式：总利润 = 总售价 - 总成本 =（单件售价 - 单件成本）× 销售数量。 变量关联：售价变化往往影响销量（如售价升高，销量降低），需通过题目条件建立销量与售价的函数关系。 思考引入：某商品进价 10 元，售价 20 元时销量 100 件，若售价每涨 1 元，销量少 5 件，如何定价能获最大利润？利润与售价存在二次函数关系吗？ 第 4 页：核心模型一 单变量定价的最大利润（售价影响销量） 问题情境：某商店销售一批服装，每件进价 150 元，原售价 200 元时，每天可售 20 件。经市场调查发现，售价每降低 5 元，日销量增加 10 件。设每件服装降价 x 元，每天的总利润为 y 元，求最大利润及对应的售价。 建模步骤： 设变量：自变量为降价金额 x 元，因变量为总利润 y 元。 列利润关系式： 单件利润 = 原售价 - 降价 - 进价 = 200 - x - 150=50 - x； 日销量 = 原销量 + 增加销量 = 20 + (x÷5)×10=20 + 2x； 总利润 y = 单件利润 × 销量 =(50 - x)(20 + 2x)= -2x + 80x + 1000。 定自变量范围： 单件利润≥0：50 - x≥0→x≤50； 销量≥0：20 + 2x≥0→x≥-10（结合实际，x≥0）； 故自变量范围：0≤x≤50。 求最大利润： 函数 y=-2x + 80x + 1000 中，a=-2<0，顶点为最高点； 顶点横坐标 x=-b/(2a)=-80/(2×(-2))=20（在 0≤x≤50 范围内）； 代入得 y 最大值 =-2×20 + 80×20 + 1000=1800 元； 对应售价 = 200 - 20=180 元。 结论：每件降价 20 元（售价 180 元）时，最大利润为 1800 元。 第 5 页：核心模型二 成本变化的最大利润（成本与销量相关） 问题情境：某水产品养殖企业销售一种水产品，每千克售价 y （元）与销量 x（千克）满足 y =-0.1x + 50，每千克成本 y （元）为 10 元，求销售多少千克时利润最大？最大利润是多少？ 建模步骤： 设变量：自变量为销量 x 千克，因变量为总利润 W 元。 列利润关系式： 单件利润 = y - y =(-0.1x + 50) - 10=-0.1x + 40； 总利润 W=x×(-0.1x + 40)= -0.1x + 40x。 定自变量范围： 售价≥成本：-0.1x + 50≥10→x≤400； 销量 x>0，故 0