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课件网) 第 1 页：封面页 标题：2.5.1 二次函数与一元二次方程 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧展示三个不同二次函数图象（分别与 x 轴有两个交点、一个交点、无交点），右侧对应列出相关一元二次方程及根的情况，直观体现 “图象交点” 与 “方程根” 的关联 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标和一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的根的对应关系，掌握用判别式判断交点个数的方法，能通过函数图象求方程的近似根。 能力目标：通过分析图象与方程的联系，提升数形结合能力与逻辑推理能力，能灵活运用函数与方程的关系解决问题。 素养目标：建立 “数”（方程根）与 “形”（函数图象）的统一认知，深化转化思想，为后续学习二次函数与不等式的关系奠定基础。 第 3 页：回顾衔接 从函数值到方程根 知识回顾： 二次函数 y=ax +bx+c 中，当 x 取某个值时，对应的 y 值是函数值；若令 y=0，函数表达式就转化为一元二次方程 ax +bx+c=0。 一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的情况由判别式 Δ=b -4ac 决定：Δ>0 时，有两个不相等的实数根；Δ=0 时，有两个相等的实数根；Δ<0 时，无实数根。 思考引入：二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点，其纵坐标有什么特点？这些交点的横坐标与一元二次方程 ax +bx+c=0 的根有什么关系？比如 y=x -2x-3 的图象与 x 轴交点的横坐标，是否就是方程 x -2x-3=0 的根？ 第 4 页：核心关联 函数图象与方程根的对应关系 推导过程： 交点坐标的特征：x 轴上所有点的纵坐标为 0，因此二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点，其纵坐标 y=0，横坐标 x 满足方程 ax +bx+c=0。 对应关系总结： 若一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x 、x （Δ>0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，坐标为 (x ,0)、(x ,0)； 若一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根 x =x （Δ=0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有一个交点（即顶点在 x 轴上），坐标为 (x ,0)； 若一元二次方程 ax +bx+c=0无实数根（Δ<0），则二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴无交点。 实例验证： 二次函数 y=x -2x-3：令 y=0，方程 x -2x-3=0 的根为 x =-1、x =3，图象与 x 轴的交点为 (-1,0)、(3,0)，横坐标与根完全一致； 二次函数 y=x -4x+4：令 y=0，方程 x -4x+4=0 的根为 x =x =2，图象与 x 轴的交点为 (2,0)，顶点在 x 轴上； 二次函数 y=x +2x+2：令 y=0，方程 x +2x+2=0 的 Δ=4-8=-4<0，无实根，图象与 x 轴无交点。 第 5 页：判别式的应用 判断图象与 x 轴的交点个数 判别式与交点个数的关系： 一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的根的情况 判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点个数 两个不相等的实数根 Δ>0 2 个 两个相等的实数根 Δ=0 1 个（顶点在 x 轴上） 无实数根 Δ<0 0 个 例题：判断下列二次函数的图象与 x 轴的交点个数： y=2x +3x-1：Δ=3 -4×2×(-1)=9+8=17>0，故有 2 个交点； y=-x +2x-1：Δ=2 -4×(-1)×(-1)=4-4=0，故有 1 个交点； y=3x +2x+2：Δ=2 -4×3×2=4-24=-20<0，故无交点。 关键提醒：判别式的符号仅与交点个数有关，与 a 的符号（开口方向）无关；a 的符号影响图象开口方向，但不改变交点的存在性。 第 6 页：逆向应用 由图象交点求方程参数 问题类型：已知二次函数图象与 x 轴的交点情况，求表达式中字母参数的取值范围。 解题思路：根据交点个数确定判别式 Δ 的符号，列不等式或方程求解参数。 例题 1：已知二次函数 y=(k-1) x +2x+1 的图象与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范围 ... ...
