3.9 弧长及扇形的面积 课件(共42张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.9 弧长及扇形的面积 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为 “圆的弧长示意图”（标注圆心角 n°、半径 R、弧长 l），右侧为 “扇形面积示意图”（标注扇形 OAB、圆心角 n°、半径 R、面积 S），底部标注核心公式 “l=nπR/180”“S=nπR /360” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解弧长、扇形的定义，掌握弧长公式（l=nπR/180）与扇形面积公式（S=nπR /360、S=1/2lR）的推导过程，能根据圆心角、半径计算弧长与扇形面积。 能力目标：通过公式推导培养逻辑推理能力，运用弧长与扇形面积公式解决 “几何组合图形计算”“实际场景应用” 等问题，提升数学运算与综合分析能力。 素养目标：体会 “部分与整体” 的比例思想（弧长 / 扇形面积是圆周长 / 面积的一部分），感受数学公式的严谨性，培养数形结合与转化思想。 第 3 页：情境导入 弧长与扇形的现实意义 生活情境（配图）： 自行车轮转动时，轮上某点转过的轨迹是一段弧，需要计算这段弧的长度来确定车轮前进的距离； 扇子打开后，扇面的形状是扇形，需要计算扇形面积来设计扇面的图案大小； 蛋糕店将圆形蛋糕切下一块，切下的部分（扇形）的面积与圆心角大小相关。 思考引入： 弧的长度与圆的半径、弧所对的圆心角有什么关系？ 扇形的面积与圆的面积、扇形的圆心角有什么关系？能否通过弧长计算扇形面积？ 第 4 页：核心模块 1 弧长公式的推导与应用 1. 弧长的定义 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧的长度叫做弧长，用字母 l 表示。 特别地，整圆的弧长就是圆的周长（C=2πR），半圆的弧长是 πR。 2. 弧长公式推导（基于 “部分与整体” 的比例） 核心思路：弧长是圆周长的一部分，该部分占比等于 “弧所对的圆心角 n°” 与 “整圆圆心角 360°” 的比值。 推导过程： 设圆的半径为 R，整圆的周长 C=2πR，对应的圆心角为 360°； 若某弧所对的圆心角为 n°，则该弧长 l 占圆周长的比例为 n/360； 故弧长 l=（n/360）×C=（n/360）×2πR= nπR/180。 公式说明： l：弧长；n：弧所对的圆心角（单位：度）；R：圆的半径； 若圆心角以 “弧度” 为单位，公式为 l=Rθ（θ 为弧度制圆心角），初中阶段重点掌握角度制公式。 3. 弧长公式应用 例题 1：已知⊙O 的半径 R=6cm，求圆心角为 60° 的弧长 l。 解答：l=nπR/180=60×π×6/180=2π≈6.28cm。 例题 2：已知一段弧的长为 10πcm，对应的圆心角为 150°，求该弧所在圆的半径 R。 解答：由 l=nπR/180 得 R=180l/(nπ)=180×10π/(150π)=12cm。 第 5 页：核心模块 2 扇形面积公式的推导与应用 1. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。 特别地，整圆可以看作圆心角为 360° 的扇形，半圆可以看作圆心角为 180° 的扇形。 2. 扇形面积公式推导（两种方法） 方法一：基于 “部分与整体” 的比例 推导过程： 设圆的半径为 R，整圆的面积 S 圆 =πR ，对应的圆心角为 360°； 若扇形的圆心角为 n°，则扇形面积 S 占圆面积的比例为 n/360； 故扇形面积 S=（n/360）×S 圆 = nπR /360。 方法二：基于 “弧长与扇形面积的关联” 推导过程： 扇形可以看作 “以弧为底、半径为高的曲边三角形”，类比三角形面积公式 “面积 = 1/2× 底 × 高”； 此处 “底” 为弧长 l，“高” 为半径 R，故扇形面积 S= 1/2lR； 验证：将 l=nπR/180 代入 S=1/2lR，得 S=1/2×(nπR/180)×R=nπR /360，与方法一结果一致，说明公式正确。 3. 扇形面积公式应用 例题 3：已知⊙O 的半径 R=8cm，圆心角为 90° 的扇形，求扇形面积 S。 解答： 方法一（用圆心角）：S=nπR /360=90× ... ...