24.5 三角形的内切圆 课件(共34张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：24.5 三角形的内切圆 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义 内心 半径 应用 配图：左侧为 “三角形内切圆核心图形”（⊙I 内切于△ABC，标注切点 D、E、F，内心 I，半径 r），右侧为 “直角三角形内切圆特写”（标注 r 与三边关系） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解三角形内切圆、内心的定义，掌握内心的性质（三条角平分线交点、到三边距离相等），熟记内切圆半径的计算公式（r=S/p，直角三角形 r=(a+b-c)/2），能解决与内切圆相关的线段、角度计算问题。 能力目标：能通过尺规完成三角形内切圆的作图，运用内心性质与切线长定理推导半径公式，提升几何作图、逻辑推理与综合计算能力。 素养目标：体会 “圆与三角形的内在关联”，感受数学知识的系统性，培养数形结合、转化思想，规范几何语言表达与公式推导过程。 第 3 页：情境导入 三角形内切圆的现实原型 生活情境（配图）： 木工加工：将圆形木塞嵌入三角形木槽，使木塞与槽的三边均紧密接触，木塞即为三角形的内切圆； 零件设计：三角形金属零件上钻一个圆形孔，要求圆孔与零件的三条边均相切，圆孔即为三角形的内切圆； 农业灌溉：在三角形农田中心修建圆形蓄水池，使水池到三边的距离相等，蓄水池即为三角形的内切圆。 思考提问： 什么样的圆能与三角形的三条边都相切？这样的圆有几个？ 圆心的位置有什么特点？到三角形三边的距离有什么关系？ 第 4 页：核心模块 1 三角形内切圆与内心的定义 1. 三角形内切圆的定义 与三角形的三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。 关键特征： 内切圆在三角形内部（区别于外接圆，可能在外部）； 内切圆与三角形的三边均有且只有一个公共点（切点）； 一个三角形有且只有一个内切圆（唯一性）。 2. 内心的定义与性质 定义：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 本质：内心是三角形三条角平分线的交点（推导：内切圆与三边相切，圆心到三边距离相等，而到角两边距离相等的点在角平分线上，故内心在三条角平分线上）。 核心性质（配图说明）： 性质类别 具体内容 符号表示 / 图示 位置性质 内心一定在三角形内部 无论锐角、直角、钝角三角形，I 均在△ABC 内 距离性质 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆半径 r ID=IE=IF=r（D、E、F 为切点） 角度性质 内心平分三角形的三个内角 ∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI 3. 内切圆的作图步骤（尺规作图） 以△ABC 为例，作其内切圆： 作角平分线：分别作∠A、∠B 的角平分线，两条角平分线交于点 I（内心）； 定半径：过 I 作 ID⊥BC 于 D（或作 IE⊥AB、IF⊥AC），ID 的长度即为内切圆半径 r； 画圆：以 I 为圆心、ID 为半径画圆，⊙I 即为△ABC 的内切圆。 第 5 页：核心模块 2 内切圆半径的计算公式 1. 通用公式（适用于任意三角形） 推导依据：三角形的面积等于其内切圆半径与半周长的乘积（S=r p）。 推导过程： 连接内心 I 与三角形的三个顶点，将△ABC 分为三个小三角形：△IAB、△IBC、△IAC； 三个小三角形的面积分别为：S△IAB=1/2 AB r，S△IBC=1/2 BC r，S△IAC=1/2 AC r； △ABC 的面积 S=S△IAB+S△IBC+S△IAC=1/2 r (AB+BC+AC)； 设三角形半周长 p=(AB+BC+AC)/2，则 AB+BC+AC=2p，故 S=1/2 r 2p=r p； 整理得内切圆半径公式：r=S/p（S 为三角形面积，p 为半周长）。 示例：已知△ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求内切圆半径 r。 解答： 半周长 p=(5+6+7)/2=9cm； 用海伦公式求面积 S=√[p (p-a)(p-b)(p-c)]=√[9×3×2×4]=6√6 cm ； 半径 r=S/p=6√6 /9=2√6/3≈1.63cm。 2. 特殊公式（适用 ... ...