5.4 三角函数的图象与性质 第1课时 三角函数的图象与性质 举一反三讲义（教师版+学生版）

5.4 第一课时 三角函数的图象与性质 【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 3 【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象 5 【题型3】正弦函数、余弦函数图象的应用 11 【题型4】正弦函数、余弦函数的周期 14 【题型5】正弦函数、余弦函数的奇偶性及对称性 16 【题型6】三角函数周期性、奇偶性的应用 18 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 函数y=sin x，x∈R图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 函数y=cos x，x∈R图象 二、正弦函数、余弦函数的周期 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4.余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 　正弦函数、余弦函数的对称性 函数y＝sinxy＝cosx对称中心点(kπ，0)(k∈Z)点(k∈Z)对称轴直线x＝kπ＋(k∈Z)直线x＝kπ(k∈Z) (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 【题型1】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 已知函数y＝2cosx（0≤x≤1000π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是　2000π　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用余弦函数的对称性可知，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形通过割补可得一边长分别为2，2π的矩形，面积为S＝4π，再根据余弦函数的周期性可求 【解答】解：如图，y＝2cosx的图象在[0，2π]上与直线y＝2围成封闭图形， 所以在[0，1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2000π． 故答案为：2000π 方法点拨 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 【变式1】（2024秋 六安月考）函数y＝﹣cosx（x∈[0，2π]）的图象与y＝cosx（x∈[0，2π]）的图象（　　） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】A 【分析】由已知结合函数图象的对称变换即可求解． 【解答】解：根据函数的变换可知y＝cosx与y＝﹣cosx，x∈[0，2π]）的图象关于x轴对称． 故选：A． 【变式2】（2025春 苏州月考）函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与函数的图象的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过方程解的个数即判断交点个数． 【解答】解：由题意知：方程在[0，2π]上有解， 因为方程在[0，2π]上的解为和， 所以两函数图象有2个交点． 故选：C． 【变式3】从函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象来看，对应于cosx的x有（　　） A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 【答案】B 【分析】画出函数y＝cosx，x∈[0，2π）的图象以及的图象，根据图象的交点个数得出选项． 【解答】解：如图所示， y＝cosx，x∈[0，2π）与的图象有2个交点， ∴方程cosx有2个解． 故选：B． 【题型2】“五点(画图)法”画函数的图象 （2025春 崂山区期中）已知函数． （1）若角α的终边经过点P（4 ... ...