5.7 三角函数的应用 【题型1】三角函数在物理中的应用 2 【题型2】三角函数在生活中的应用 8 【题型3】三角函数“拟合”模型的应用 13 一、三角函数在物理中的应用 1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当直角坐标下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0. 2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin，应先变成y=sin=sin. 【题型1】三角函数在物理中的应用 （2025春 长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．下列说法正确的是（ ） A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米 B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米 C．经过2秒小球往复振动一次 D．每秒小球能往复振动30次 【答案】C 【分析】求出t＝0时h的值，即可判断出A项的正误；根据振幅的物理意义判断出B项的正误；根据三角函数的周期公式，算出函数的周期T＝2，由此判断出C、D两项的正误，进而可得本题答案． 【解答】解：根据t＝0时，h＝2sin（）， 可知小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米，所以A项不正确； 根据函数的振幅为2， 可知小球的最高点和最低点之间的距离是2×2＝4厘米，所以B项不正确； 根据函数的周期T2秒， 可知经过2秒小球往复振动一次，所以C项正确； 由C项的分析，可知每秒小球不能往复振动30次，所以D项不正确． 故选：C． 方法点拨 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【变式1】（2025春 广东月考）科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点（1，2），降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为g（x）．下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数g（x）在区间（1，2）上单调递减； ③对于 x∈R，都有f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0； ④ n∈N*都有f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）≤2． 其中所有正确结论的编号是 ③④ ． 【答案】③④． 【分析】由f（x）经过（1，2）可求出f（x）的解析式，利用图象平移得到g（x）解析式，可得到g（x）的解析式，可判断①；求出g（x）相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）的值，可判断③，利用f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0，分n＝3k，k∈N*、n＝3k+1，k∈N*、n＝3k+2，k∈N*三种情况求f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）的化简式可判断④． 【解答】解：∵f（x）＝2sin（x+φ）经过点（1，2），则sin（φ）＝1， ∴φ2kπ，k∈Z，解得φ2kπ，k∈Z， 又|φ|，∴φ，∴f（x）＝2sin（x）． 对于①，令函数f（x）的周期为T，则， 由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线， ∴； ∴， ∵，∴函数不是奇函数，①错误； 对于②，∵， 当x∈（1，2）时，， ∴g（x）在x∈（1，2） ... ...
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