27.4正多边形和圆 【题型1】求正多边形的中心角 3 【题型2】求正多边形的边数 7 【题型3】求正多边形的边心距 11 【题型4】正多边形与圆的综合 16 【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 阜宁县一模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若BC=4，则⊙O的半径是（ ） A．B．2C．D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质和勾股定理求出BD的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到BD是⊙O的直径，据此可得答案． 【解答】解：⊙O是正方形ABCD的外接圆，BC=4，如图，连接BD， ∴CD=BC=4，∠C=90°， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∵∠C=90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为， 故选：A． 2.（2025 巨野县一模）在春节灯谜会上，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小亮量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为（ ） A．9B．10C．11D．12 【答案】D 【分析】由题意知，AB=BC，则∠BCA=∠BAC=15°，可求∠B=150°，可得外角为30°，由360°÷30°=12可得结论． 【解答】解：由题意知，AB=BC， ∴∠BCA=∠BAC=15°， ∴∠B=180°-∠BCA-∠BAC=150°， ∴∠B的外角度数为180°-150°=30°， ∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12， 故选：D． 【题型1】求正多边形的中心角 【典型例题】将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】正八边形的中心角为， ∵， ∴旋转角的大小可能是，，， ∵不是的整数倍， ∴旋转角的大小不能是， 故选：B． 【举一反三1】下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（ ） A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形 【答案】A 【解析】如图， ∵等边三角形的中心角为， ∴旋转后即可与原图形重合； ∵正方形的中心角为， 正五边形的中心角为， 正八边形的中心角为， ∴正方形、正五边形、正八边形旋转后不能与原图形重合． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵正五边形内接于， ∴正五边形的中心角． 故选：C． 【举一反三3】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵正五边形内接于， ∴正五边形的中心角． 故选：C． 【举一反三4】正六边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 【举一反三5】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是 ． 【答案】 【解析】如图， 由题意可知，所求的问题为的度数， 由正五边形的性质得：， 又， ∴， 故答案为：． 【举一反三6】正九边形的中心角等于 度． 【答案】40 【解析】正九边形的中心角等于：． 故答案是：． 【举一反三7】如果一个正多边形的内角和是，则它的中心角的度数为 度 【答案】45 【解析】设此多边形为边形， 根据题意得：， 解得：， 这个正多边形的中心角的度数为：． 故答案为：． 【举一反三8】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度． 【答案】12 【解析】连结AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BO ... ...
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