(课件网) 5.2.2线段垂直平分线的性质 第五章 图形的轴对称 新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 买合苏迪古丽·买买提 托克逊县第二中学 15909954880 5.2.2 线段垂直平分线的性质 一、学习目标 理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线。 掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能运用这些性质解决几何问题。 结合轴对称知识理解线段垂直平分线与轴对称的内在联系，体会数形结合思想。 在探究线段垂直平分线性质的过程中，培养逻辑推理能力和几何直观，提高运用知识解决问题的能力。 二、情境引入垂直关系] （三）几何语言表达 ∵直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB（已知） ∴直线 l 是线段 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线的定义） 四、线段垂直平分线的性质探究 （一）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 探究过程： 如图 2，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 是直线 l 上的任意一点，连接 PA、PB。 测量发现：PA = PB。 换一个点 P' 在直线 l 上，连接 P'A、P'B，测量发现 P'A = P'B。 结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 [此处插入图 2：线段 AB 的垂直平分线 l 上有一点 P，连接 PA、PB 的示意图] 定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 几何语言表达： ∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上（已知） ∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 推理证明： 如图 2，∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线（已知） ∴AO = BO（线段中点的定义），∠AOP = ∠BOP = 90°（垂直的定义） 在△AOP 和△BOP 中：\( \begin{cases} AO = BO · è \\ AOP = BOP · è \\ PO = PO ±è \end{cases} \) ∴△AOP≌△BOP（SAS） ∴PA = PB（全等三角形的对应边相等） （二）逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 探究过程： 如图 3，点 P 是平面内一点，且 PA = PB，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O。 测量发现：AO = BO，即点 O 是线段 AB 的中点。 结论：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 [此处插入图 3：点 P 满足 PA=PB，PO⊥AB 的示意图] 定理内容：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言表达： ∵PA = PB（已知） ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 推理证明： 如图 3，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O（辅助线） ∵PO⊥AB（辅助线作法） ∴∠AOP = ∠BOP = 90°（垂直的定义） 在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中：\( \begin{cases} PA = PB · \\ PO = PO ±è \end{cases} \) ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴AO = BO（全等三角形的对应边相等） ∴点 O 是线段 AB 的中点（线段中点的定义） ∵PO⊥AB 且 O 是 AB 的中点（已证） ∴直线 PO 是线段 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线的定义） ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 （三）线段垂直平分线的集合定义 由性质定理和逆定理可知，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合。这一集合定义体现了线段垂直平分线的本质特征，即它包含了所有满足到线段两端距离相等条件的点，且只包含这些点。 五、线段垂直平分线性质的应用 （一）利用性质定理求线段长度 例 1：如图 4，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上，若 PA = 5cm，求 PB 的长度。 [此处插入图 4：线段 AB 的垂直平分线 l 上有一点 P，PA=5cm 的示意图] 解： ∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上（已知） ∴PB = PA（线段垂直 ... ...
