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课件网) 问题解决策略：转化 第五章 图形的轴对称 新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 买合苏迪古丽·买买提 托克逊县第二中学 15909954880 问题解决策略：转化 一、转化策略的定义与核心思想 转化策略是指在解决问题时，通过对问题进行变形、重组或映射，将复杂问题转化为简单问题、陌生问题转化为熟悉问题、未知问题转化为已知问题的解题方法。其核心思想是 “化归”：借助已有的知识和经验，搭建新旧问题之间的桥梁，通过等价转化降低问题的难度，最终实现问题的解决。 在几何学习中，转化策略尤为重要。例如，面对角平分线相关的复杂问题，可通过构造全等三角形、转化为距离问题等方式简化推理；对于涉及多个图形的综合问题，可通过分解图形、转化为基本图形的性质应用问题。转化策略不仅能提高解题效率，更能培养灵活运用知识的能力。 二、转化策略在角平分线问题中的应用场景 （一）将角平分线问题转化为全等三角形问题 角平分线的性质定理和逆定理的证明过程本身就是转化思想的体现 ——— 通过构造垂线段，将角平分线的性质转化为全等三角形的对应边相等问题。在解决实际问题时，这一转化方法同样适用。 例 1：如图 1，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB > AC，求证：AB - AC = BD - CD。 [此处插入图 1：△ABC 中 AD 是角平分线，AB> AC 的示意图] 分析： 问题转化：要证明线段差相等（AB - AC = BD - CD），可通过 “截长法” 构造全等三角形，将线段差转化为相等线段。 具体操作：在 AB 上截取 AE = AC，连接 DE。 转化推理： ∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAD = ∠CAD（角平分线定义） 在△AED 和△ACD 中：\( \begin{cases} AE = AC é \\ BAD = CAD · è \\ AD = AD ±è \end{cases} \) ∴△AED≌△ACD（SAS） ∴DE = CD，∠AED = ∠C（全等三角形性质） ∵AB - AC = AB - AE = BE（AE = AC） 需证 BE = BD - CD = BD - DE 在△BDE 中，BE = BD - DE（即 BD = BE + DE），通过角度关系可证△BDE 是等腰三角形（∠BED = ∠BDE），从而 BE = BD - DE，即 AB - AC = BD - CD。 （二）将角平分线问题转化为距离问题 角平分线的核心性质是 “角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此可将涉及角平分线的线段关系问题转化为垂线段的距离问题，利用距离相等的条件简化计算或证明。 例 2：如图 2，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC 于点 D，若 AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 6cm，求 OD 的长度（△ABC 的面积为 18cm ）。 [此处插入图 2：△ABC 中角平分线交于 O，OD⊥BC 的示意图] 分析： 问题转化：点 O 是角平分线交点（内心），到三边距离相等（OD = OE = OF，OE⊥AB，OF⊥AC），可将三角形面积转化为三个小三角形面积之和。 转化推理： ∵S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC 设 OD = x，则 OE = OF = x ∴18 = \(\frac{1}{2}\)×AB×OE + \(\frac{1}{2}\)×BC×OD + \(\frac{1}{2}\)×AC×OF 代入数据：18 = \(\frac{1}{2}\)×5x + \(\frac{1}{2}\)×7x + \(\frac{1}{2}\)×6x 解得 x = 2cm，即 OD = 2cm。 （三）将角平分线的判定问题转化为等量关系问题 角平分线的逆定理（到角两边距离相等的点在角平分线上）为判定角平分线提供了依据，可将 “某射线是角平分线” 的判定问题转化为 “该射线上一点到角两边距离相等” 的等量关系证明问题。 例 3：如图 3，在△ABC 中，BD = CD，∠BED = ∠CFD = 90°，且 BE = CF，求证：AD 是∠BAC 的平分线。 [此处插入图 3：△ABC 中 D 是 BC 中点，BE⊥AD，CF⊥AD 的示意图] 分析： 问题转化：要证 AD 是角平分线， ... ...
