沪科版数学八年级上册第13章三角形的边角关系及证明专题讲义（含答案）

第13章 三角形的边角关系专题讲义 沪科版数学八年级上册 1、三角形中的重要线段 ⅰ从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线,也叫作三角形的高 【三角形三条高线或延长线交于一点，为该三角形的垂心】 ⅱ三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 【三角形三条角平分线交于一点，为该三角形的内心】 ⅲ三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线 【三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心】 角平分线模型： ①“内内模型”【模型结论】∠BPC=90°+ 在△ABC中，∠B和∠C的角平分线交于一点P，则∠BPC与∠A存在的数量关系？ 证明思路： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A 又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB ∴∠PBC=，∠PCB= 在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（+） =180°-（180°-∠A）=90°+ ②“内外模型” 已知B、C、D三点在同一直线上，在△ABC中，∠ABC的内角平分线与外角∠ACD的角平分线交于点P，问∠P与∠A存在的数量关系？【模型结论】∠P= 证明思路： ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACD ∴∠ABC=2∠PBC,∠ADC=2∠PCD ∵∠ACD和∠PCD分别是△ABC和△PBC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P ∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P） ∠A+∠ABC=2∠PBC+2∠P ∴∠A=2∠P ③“外外模型” △ABC的外角平分线BP和CP交于点P，问∠BPC与∠C的数量关系？【模型结论】∠P=90°- 证明思路： ∵∠HBC和∠ICB是△ABC的外角 ∴∠HBC+∠ICB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°＋∠A ∵BP、CP分别平分∠HBC和∠ICB ∴∠PBC= ，∠PCB= ∴∠PBC+∠PCB=+=（∠HBC+∠ICB）=（180°＋∠A)=90°+ 在△BPC中 ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=90°- 1.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是( ) 2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是∠BAC的平分线.若∠B=α,∠C=β,则∠DAE=( ) 如图,BD是△ABC的中线,点E,F分别为BD,CE的中点.若△AEF的面积为4.则△ABC的面积是 （ ▲ ） A.16 B.12 C.10 D.8 4.如图,△ABC中,点E是BC上一点,EC=2BE,点D是AC的中点,若则=_____. 5、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①BF=AF， ②∠BAE=∠CAE，③④∠C与∠CAD互余，其中正确的是 (只填序号)； (2)若∠C=56°，∠B=36°，求∠DAE的度数； (3)若∠C>∠B，直接写出∠DAE与∠C，∠B 之间的数量关系。 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，且. (1)b的值为 . (2)F(m,n)为第二象限内的一点,连接FA,交y轴于点D,连接FB,则△ABF的面积为(用含m，n的式子表示) . 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在AB 边上,将△CBD沿CD折叠,使点 B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=27°,则∠CDE= °. 8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平方线交于点O，∠BOC=130°. (1)∠A的度数为 . (2)若CD平分外角ACF，交BO的延长线于点D，点E是△ABC的两外角平分线的交点，则∠E ∠D的度数为 . 9.如图,已知△ABC中,BC=6,AC=10. (1) 画 AC 边上的中线 BD,并求 AD长; (2) 画 BC 边上的高 AH,若AH=5,求的面积. 如图,在△ABC中,点D在边AB上，点E在BC的延长线上，射线EA与射线CD 相交于点F，∠BAG是△ABC的外角.现有以下三个选项：( ②∠CEF=∠CFE；③AF平分∠BAG.请你从中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明. 条件: ,结论: .(填序号) 11.如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC的中点, (1)求∠AEC的度数; (2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答. 12.如图1, 已知.A，B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM 运动. (1) ... ...